Mais triângulos

Mais alguns triângulos especiais:
Ao longo desta incursão pelo fascinante mundo dos triângulos, já referimos alguns triângulos especiais: triângulo pedal, triângulo mediano, triângulo tangencial, triângulo de Brocard, etc
Vamos referir mais alguns casos:

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Triângulo de Morley

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No triângulo ABC, dividamos cada um dos ângulos internos em três partes iguais. As intersecções das seis rectas, tomadas duas a duas, tal como se indica na construção, determinam três pontos. Esses três pontos são os vértices de um triângulo equilátero, dito “Triângulo de Morley”.


[A.A.M]

Triângulos de Yff

Cada par de rectas perpendiculares tiradas pelo ponto de Yff às bissectrizes dos ângulos internos formam com cada lado um triângulo. Os três triângulos assim obtidos são equivalentes.

[A.A.F.]

Incentro, Yff e um baricentro: recta de Euler

Seja A’ a primeira intersecção da bissectriz de A com o incírculo;
seja B’ a primeira intersecção da bissectriz de B com o incírculo;
seja C’ a primeira intersecção da bissectriz de C com o incírculo.

A recta definida pelos pontos I e Y contem o baricentro G’ e o ortocentro H´do triângulo A’B’C’, ou seja, é a recta de Euler deste triângulo.


[A.A.F]

PONTO de YFF

No triângulo ABC tracemos as bissectrizes dos ângulos internos e, em seguida, as bissectrizes dos três ângulos de vértice em I:
- seja A’ a intersecção da bissectriz de BIC com o lado BC;
- seja B’ a intersecção da bissectriz de AIC com o lado AC;
- seja C’ a intersecção da bissectriz de AIB com o lado AB.

As cevianas AA’, BB’, CC’ intersectam-se no ponto Y de Yff.

Ponto de Steiner, triângulo de Brocard, ponto de Lemoine

No triângulo ABC, tracemos o círculo de Brocard (diâmetro OLe). Determinemos o primeiro ponto de Brocard, Br1. As cevianas referentes a Br1 definem sobre o círculo de Brocard os vértices A’B’C’ do primeiro triângulo de Brocard. O ponto de Steiner de A’B’C’ é o ponto de Lemoine Le de ABC.
A verificação de que se trata do ponto de Steiner de A’B’C’ está feita com a intersecção do circuncírculo de A´B´C´com a circunferência definida pelos pontos A’’B’’C'’.

Ortologia, recta dos pontos isodinâmicos, ponto de Steiner

No triângulo ABC, determinemos os pontos isodinâmicos (isogonais dos pontos de Fermat; obtêm-se pela intersecção dos três círculos de Apolónio): W1, W2. Tracemos as simétricas da recta W1W2 relativamente às bissectrizes internas do triângulo ABC: a´, b’, c’. O triângulo A’B’C’ formado por estas três rectas é ortológico em relação a ABC. O primeiro centro de ortologia é o ponto de Steiner.

Ortologia, recta de Brocard, ponto de Steiner

No triângulo ABC, tracemos a recta de Brocard rLe (a verde, definida pelos pontos O e Le). As simétricas de rLe em relação a cada bissectriz dos ângulos internos formam um triângulo A’B’C’, ortológico de ABC. Determinemos o primeiro centro de ortologia, traçando perpendiculares por A a a’, por B a b’, por C a c’. Verifica-se que o ponto procurado é o ponto de Steiner St do triângulo ABC.



(A verificação de que se trata do ponto de Steiner está feita com a circunferência auxiliar AB₁C₁.)

Bissectrizes e triângulos ortológicos

No triângulo ABC tomemos as bissectrizes dos ângulos internos e uma recta qualquer r. Verifica-se que as simétricas de r em relação a cada bissectriz formam um triângulo A´B´C´ortológico de ABC; o primeiro centro de ortologia situa-se no circuncírculo.

Triângulo ortológico

Dois triângulos ABC (de lados a, b, c) e A’B’C’ (de lados a’, b’, c’) dizem-se ortológicos se as perpendiculares tiradas de A para a’, de B para b’, de C para c’ se intersectam num ponto – primeiro centro de ortologia O1.
Reciprocamente, as perpendiculares tiradas de A’ para a, de B’ para b, de C’ para c também se intersectam num ponto – segundo centro de ortologia O2.

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Neste tempo de recuperar para a visibilidade o que deixara de ser visto, António Aurélio Fernandes encontrou o texto---- Francisco J. García Capitán. Triángulos ortológicos. Septiembre de 2005 ---- que se recomenda a quem queira saber se é ortológico.:-)

Hexágono e círculo de Lemoine

No triângulo ABC, determinemos o ponto de Lemoine Le. Por Le tracemos paralelas aos lados do triângulo: os seis pontos de intersecção com os lados do triângulo ABC definem o hexágono de Lemoine. Existe um círculo circunscrito ao hexágono: é o círculo de Lemoine t de centro T.
Verifica-se que o ponto T é o ponto médio do segmento OLe; coincide, portanto, com o centro do círculo de Brocard.


[A.A.F.]
O eixo radical de circuncírculo(?) e do círculo de Lemoine é a recta de Pascal do hexágono de Lemoine.

?
[A.A.F.]

Polar trilinear do ponto de Tarry e recta de Euler

A polar trilinear do ponto de Tarry e a recta de Euler são perpendiculares e intersectam-se num ponto da circunferência de Brocard.



[AAF]

Ponto de Steiner, ponto de Tarry e recta de Brocard

Tomemos os pontos de Steiner, de Tarry e as intersecções da recta de Brocard (definida por O e Le) com o circuncírculo. Estes quatro pontos definem um rectângulo inscrito no circuncírculo. Os lados do rectângulo são paralelos aos eixos das elipses de Steiner.


[A.A.F.]

Polar do baricentro em relação ao círculo de Brocard

A polar do baricentro G em relação ao círculo de Brocard contém o ponto de Steiner.


[A.A.F.]

Ponto de Tarry e recta de Lemoine

A recta de Simson do ponto de Tarry é paralela à recta de Lemoine.



[A.A.F.]

Triângulo de Neuberg

O “triângulo de Neuberg” tem como vértices os centros dos círculos de Neuberg. O triângulo ABC e o triângulo de Neuberg estão em perspectiva, com o centro de perspectiva no ponto de Tarry.


[A.A.F]

Eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard

Exercício interactivo

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Determine o eixo radical do circuncírculo e do círculo de Brocard do triângulo [ABC], conhecidos o circuncírculo, o círculo de Brocard, o ponto e a recta de Lemoine.

Ponto de Tarry de um triângulo de Brocard