Triângulos inversamente semelhantes

Dado o triângulo ABC, sejam V₁ e V₂ os seus pontos de Fermat e W₁ e W₂ os pontos isodinâmicos. Os triângulos [V₁V₂W₁] e [V₁V₂W₂] são inversamente semelhantes. De facto, são iguais os ângulos ∠V₁V₂W₂ = ∠ W₁V₁V₂, etc



[A.A.F.]

Pontos Isodinâmicos e de Napoleão

Recordemos que para obter os pontos isogónicos (ou de Fermat), W₁ e W₂, construímos triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo ABC exteriormente (interiormente) e unimos o ápice de cada um com o vértice oposto. Para obter os pontos de Napoleão, Np₁ e Np₂, unimos os centros dos triângulos externos (internos) com os vértices opostos.



[A. A. F.]

Verifica-se que:
- as rectas W₁Np₁ e W₂Np₂ se intersectam no ortocentro H;
- as rectas W₁Np₂ e W₂Np₁ se intersectam no ponto médio do segmento definido pelo circuncentro O e pelo centro do círculo de nove pontos N.

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

• os simétricos de A relativamente a BC (A₂), de B relativamente a AC (B₂) e de C relativamente a AB (C₂);


• os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A₁, B₁ e C₁ ou internamente A_1*, B_1* e C_1*

As rectas A₁A2, B₁B₂ e C₁C₂ encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A_1*A₂, B_1*B₂ e C_1*C₂ encontram-se no outro.




[A.A.F.]

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.

Mais propriedades do ponto isodinâmico

Cada ponto isodinâmico forma com os três vértices do triângulo [ABC] um quadrângulo isodinâmico: é constante o produto dos comprimentos dos lados opostos.



O transformado por inversão do triângulo [ABC] em relação a um dos seus pontos isodinâmicos é um triângulo equilátero.



Dado um triângulo ABC e a sua circunferência circunscrita, tomemos para centro de uma projecção um dos pontos W isodinâmicos do triângulo. Nesta projecção, os vértices do triângulo ao serem projectados sobre o circuncírculo dão vértices de um triângulo equilátero.

PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;


construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Apolónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.