Uma demonstração para variar

O resultado surpreendente que apresentámos na entrada anterior tem relação com resultados sobre triângulos já abordados por aqui há muito tempo. Para boicotar o trabalho do índice, que tarda em ser feito para melhorar a consulta deste blog, Aurélio Fernandes achou por bem defender a apresentação de uma demonstração desse resultado: O baricentro dos incentro e ex-incentros de um triângulo é o seu circuncentro. (problema 58. do Éxércices de Géométrie - Compléments de Th. Caronnet). Aqui fica. Na construção que se segue pode acompanhar a demonstração e, usando o compasso, ir verificando as afirmações sobre igualdade de segmentos...



O baricentro dos 4 pontos I, J, K e L pode ser obtido como ponto médio dos pontos médios de [IJ] e [KL].
Para vermos a localização desse baricentro, tomemos AB para eixo das abcissas e A para origem das coordenadas. E tomemos as projecções de I, J, K, L.
Na série Despertar dos Geómetras, pela mão da Mariana, aparecem os resultados:

|AJ'|=|BK'|=p, em que p é o semiperímetro de [ABC]: (|AB|+|BC|+|AC|)/2

|AI'|=|BL'|=p-c ou |BI'|=|AL'| =p-b

|I'J'|=|BC|=a

|AI'|=p-a

O ponto, M, médio de [IJ] tem abcissa (|AI'|+|AJ'|)/2 e o ponto, N, médio de [KL] tem abcissa (|AK'|+|AL'|)/2. O baricentro dos quatro pontos ou ponto médio de [MN] tem abcissa ((|AI'|+|AJ'|)/2+(|AL'|-|AK'|)/2)/2 = (|AI'|+|AJ'|+|AL'|-|AK'|)/4, e, por ser |AK'|=p-c e |AL'|= p-b, a abcissa do baricentro é afinal
(p-a+p+p-b-(p-c) )/4= (2p-a-b+c)/4=c/2
que garante que este está sobre a mediatriz de [AB].
De igual modo, se prova que está sobre as mediatrizes de [AC] e de [BC].

O baricentro dos incentro e ex-incentros de um triângulo é o circuncentro do triângulo.