Teorema de Feuerbach

Puig Adam refere a demonstração do teorema de Feuerbach como exemplo de aplicação da inversão. Aqui deixamos, com a devida vénia, a página 61 do Curso de Geometria Métrica:

Circunferência tangente a outras duas

Traçar por um ponto P uma circunferência tangente a outras duas c₁ e c₂ que não passam por P.

Sugestão de Puig Adam: Aplicando a c₁ e c₂ uma inversão de centro P, estas circunferências transformam-se em outras (pode ecolher-se a inversão de modo que se conserve uma delas, ou as duas caso P seja ponto do eixo radical de ambas). A circunferência procurada transforma-se numa das rectas tangentes a ambas; bastará pois achar a tangente comum e transformá-la pela mesma inversão.

De modo análogo, se resolve o problema de determinar a circunferência que passa por P e que faz um dado ângulo com outras duas.

[Puig Adam. Curso de Geometria Metrica, Tomo I, pg 160]

Conservação de ângulos na inversão

Na construção abaixo em que pode deslocar os pontos A,V e B, considera-se o ângulo AVB (das semirectas VA e VB). Os transformados dos lados do ângulo ( que não cortam a circunferência) são duas circunferências. O ângulo transformado de AVB pela inversão relativa à circunferência (a negro) é o ângulo de vértice V' (inverso de V) e cujos lados são as tangentes em V' às circunferências transformadas dos lados do ângulo AV e BV. Como se pode verificar, este ângulo assim definido é igual ao ângulo AVB. As cores dos lados dos ângulos ( e das circunferências inversas de AV e VB) revelam que são de sentido inverso os ãngulos cuja amplitude se mantém por inversão - tal como acontece na simetria. Assim tinha de ser. Não é?

Do pólo e polar à circunferência

Usando a inversão, o pólo, a polar e separação harmónica,... determinar uma circunferência a partir do seu ponto A e a polar p do ponto P relativamente a ela.

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Mariana Sacchetti 1. Traçar a perpendicular a p por P. Seja P’ é o ponto de interseção (P’ é o inverso de P relativamente à circunferência pretendida)
2. Traçar o círculo de diâmetro [PP’]. Seja O’ o seu centro
3. Traçar a reta AO’ e a sua perpendicular em A. Seja D o ponto de interseção desta perpendicular com o círculo (O’, O’P)
4. Traçar a tangente ao círculo (O’, O’P) em D. Seja A’ a interseção desta tangente com AO (A’ é o inverso de A relativamente à circunferência (O’,O’P)
5. A mediatriz de AA’ interseta PP’ em O, centro da circunferência pretendida

O tempo que não temos?

Estudávamos os inversores (de Peaucellier e Hart) sem conseguirmos chegar a acordo com os inversores nem sobre a próxima publicação, quando decidimos experimentar outros mecanismos.
Na falta de melhor, aqui deixamos uma ampulheta,





para ver passar o tempo.

Voltar atrás?

Pares de lados opostos de um hexágono ABCDEF inscrito numa circunferência determinam 3 pontos P, Q, R colineares (recta de Pascal). Pares de vértices opostos de um hexágono circunscrito a uma circunferência determinam três rectas p, q, r concorrentes (ponto de Brianchon).
Relativamente à circunferência, p é a polar de P (e P é pólo de p), q é a polar de Q, r é a polar de R. E claro que, relativamente à circunferência em que inscrevemos e circunscrevemos aqueles hexágonos em que os vértices do inscrito são os pontos de tangência dos lados do circunscrito, o ponto de Brianchon é o pólo da recta de Pascal e a recta de Pascal é a polar do ponto de Brianchon.



O Teorema de Pascal e o seu dual Teorema de Brianchon já foram abordados. Esta publicação justifica-se como uma chamada de atenção para as conexões com os conceitos de pólo e polar relativamente a uma cónica (inscrita e circunscrita), enfim, para fazer mais uma síntese.

uma gota de engano

Muitas vezes nos enganamos. Algumas vezes acontece que o engano resulta mais belo que o desejado.

Tangência e ortogonalidade

No ensino básico, quando os estudantes aprendem a tirar por um ponto tangentes a uma circunferência ficam com o conhecimento necessário para determinar uma circunferência ortogonal a outra, a polar de um ponto relativamente a uma circunferência, divisão de segmentos e inversa, etc.
Um professor pode, sem precisar de mais tempo, referir estas questões e a determinação geométrica do inverso, por exemplo, enquanto lembra o teorema de Pitágoras e o facto da altura relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo ser meio proporcional aos segmentos em que divide a hipotenusa.
O exercício interactivo, que se segue, pede a determinação da circunferência centrada em P que é ortogonal à centrada em O. Vamos a isso.