Pentágono de Alcácer

Recebemos uma carta de Paulo Correia de Alcácer do Sal que defende uma construção do pentágono regular de que se conhece a diagonal. Aqui fica a sua carta e a ilustração retirada da construção que nos enviou:

Olá viva...
Estava a olhar pela (vossa) geometria - blog e geometriagon - e vi um problema interessante: construção de um pentágono regular de que se conhece uma diagonal.

Fiz a construção no exercício interactivo e fiquei a pensar se seria a mesma em que pensaram, como o problema 550 do geometriagon é parecido, e aí a minha resolução é diferente da vossa, cheguei à conclusão que também no problema do blog "chego lá" por outro caminho, pelo que envio a minha resolução.



Trata-se de construir sobre o prolongamento da diagonal dada um segmento segundo a razão de ouro (a vermelho na minha construção).
Esse segmento tem a medida do lado do pentágono, pelo que transportando essa medida para os dois vértices conhecidos encontramos outro vértice (a azul na minha construção).
Como a circunferência de raio igual à diagonal e centro no outro vértice também contém outro vértice (as diagonais do pentágono têm todas o mesmo comprimento) o transporte da medida do lado intersecta esta circunferência noutro vértice...
O número de ouro é uma grande ajuda...
Um abraço
Paulo Correia

Agradecemos as contribuições de Paulo Correia, aqui e no Geometriagon. Bom exemplo.


Já agora! A nossa construção publicada em fins de Outubro foi inspirada num problema que aparentemente não teria coisa alguma a ver com o número de ouro .-), mais ou menos isto: determinar a base de um triângulo isósceles de que se conhece o lado e em que os ângulos da base são o dobro do ângulo oposto à base.