Um problema de férias

Clicando sobre o enunciado, pode aceder ao exercício interactivo correspondente.

Por construção, determinar a recta tirada por um ponto dado que é equidistante de duas circunferências dadas
Para além da resolução geométrica, tem interesse tentar a demonstração e estudar as condições de possibilidade do problema.
Ficamos à espera. Já encontrámos (Arsélio e Aurélio) o tal problema (ou parecido) que me afligiu no Geometriagon e lá está resolvido por mais que um processo (por mais que uma forma de demonstrar o resultado associado....).
Quando o reencontrar me lembrar disso, prometo vir aqui dar a referência na grande LISTA.

[AM]

Recta de Simson com propriedade

Por três quaisquer pontos - A, B e C - não colineares passa uma e uma só circunferência. Se sobre essa circunferência tomarmos um quarto ponto P, são colineares os pés - R, S e T - das perpendiculares aos lados do triângulo [ABC] tiradas por P. A essa recta que passa por R, S e T é que chamamos recta de Simson relativa a P e ao triãngulo [ABC]

Neste Lugar Geométrico tínhamos chamado (mais uma vez, diga-se!) a atenção para um exercício proposto por Puig Adam na sua Geometria Métrica

7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.



Seguindo o conselho de Aurélio Fernandes, e depois da observação meticulosa de Mariana Sacchetti sobre uma proposta que nos foi apresentada, continuamos sem resolver o problema proposto (a demonstração). Mas, para o caso de alguém ter reparado na falhada publicação sobre o assunto, feita a 13 de Agosto, aqui deixo uma nova e mais clara ilustração para a propriedade em estudo.

[AM]

Problemas de férias

No Geometriagon fui apanhado (e humilhado) por um problema que se referia a distância de circunferências a pontos e a recta. Tratava-se de determinar, sobre uma recta r dada, o ponto P equidistante de um ponto A e de um círculo dados. Ainda não consegui arranjar uma construção (e demonstração) e continuo a pensar nele. Mas porque hei-de sentir-me sozinho? Há muito boa gente que não resiste a um desafio.

Em deambulações recentes, passei por um problema do mesmo tipo (ou com os mesmo ingredientes) na Revista de Professores de Matemática (do Brasil). Este novo problema (que pode vir a transformar-se em exercício interactivo por aqui mesmo) pede que se determine uma recta r que passe por um ponto P dado e seja equidistante de duas circunferências dadas.

Pode tentar?



Seja uma circunferência de centro O e uma recta r. Tirada por O a perpendicular a r, a distância da ciruncferência à recta é o comprimento do segmento [AB], em que A é o pé da perpendicular e B é a intersecção da semirecta de O para A com a circunferência. Isto é, a distância de uma cirunferência à recta r é o que resta da distância de O a r depois de lhe subtrairmos o raio da circunferência.

ass. Arsélio Martins