20.7.05

Construção de um triângulo dados os pontos médios dos lados

Andreia Figueiredo escreveu-nos uma mensagem com propostas de construções. Escreve ela:
(...)foi-nos possibilitada a exploração de algumas das enumeras potencialidades do programa de geometria dinâmica de nome Cinderella. Após algumas experiências, apercebemo-nos logo do seu elevado valor como instrumento auxiliar no ensino da geometria a alunos do ensino básico e secundário. Deste modo, foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, que nos desafia a resolver, com o Cinderella, alguns problemas de geometria, com o objectivo de nos pôr a praticar.
Assim, queria apresentar a minha resolução para dois exercícios propostos no vosso blog. Os exercícios que resolvi são da autoria de Puig Adam e encontram-se expostos na secção intitulada Pontos e rectas notáveis de um triângulo. Seguidamente, apresento os seus enunciados, bem como, o processo que proponho para a sua resolução explicado passo a passo.
EXERCÍCIO 1:
Construir um triângulo do qual se conhecem os pontos médios dos seus lados.


Da lição de Puig Adam, referida por Andreia, então escolhemos 8 exercícios para propor aos leitores. Eram eles:


1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhece os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?


Aqui ficam de novo para despertar o apetite.

A proposta de exercício de Andreia Figueiredo reporta-se a parte do exercício 8 desta lista. Que aqui fica proposto como exercício interactivo. Para fazer o trabalho clique aqui.

6 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Faço pequena alusão ao Geometria.
http://calendario.blogspot.com

Um abraço,
Filipe

6:18 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

O que é a "recta de Simson" ?(exercício 8)
Mariana

7:05 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Há uma definição em
http://geometrias.blogspot.com/2005/02/hipociclide-tricspide.html que dá a envolvente das rectas de simpson relativas aos pontos da circunferência circunscrita a um triângulo.
São colineares os pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de um ponto da circunferência a ele circunscrita.

4:42 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Nas primeiras construções feitas sobre priopriedades e pontos notáveis de um triângulo, lá está a recta de simson.
Tenho de me controlar: É Simson. E eu escrevo muitas vezes Simpson. Não será um desvio pró Homer Simpson. Homer Simpson não descobriu esta propriedade de que aqui se fala. Se tivesse sido o Bart... já não havia caso para grande espanto.

4:45 da tarde  
Blogger nitas escreveu...

será que alguém me pode enviar uma construção de 1 triângulo dados os pontos médios dos lados?
é urgente
desde já o meu obrigada

11:28 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Nitas? Para onde se manda a construção que pede?
Tome os pontos médios M de AB, N de BC e P de AC. Faça passar rectas por cada dois pontos médios. Por M trace uma paralela a NP: obtém a direcção de AB. Por N trace a paralela a MP: obtém BC. Por P trace a paralela a MN: obtém AC. Nas interesecções destas rectas estão A, B e C.

7:38 da manhã  

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