Do Brasil: um problema e um livro português

Do Brasil, João Linneu escreveu para nos dizer:

Gostaria de encontrar a solução do problema:
"Dividir um quadrado em três triângulos equivalentes"
Sei que em 1970 a questão foi solucionada por Paul Monsky (...).


Ao mesmo tempo, pedia-nos ajuda para encontrar o livro "Fundamentos da Geometria" de José Joaquim Dionísio. Nós não conhecíamos o livro e não encontrámos referência em pesquisa bibliográficas pela BN.
Luís Sanchez e José Francisco Rodrigues, do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências de Lisboa, deram-nos notícia do livro que, afinal, foi publicado recentemente pelo Departamento.
Lá iremos ao livro. E obrigado a todos.

Nota de memória: Isto fez-me lembrar os apontamentos manuscritos do curso de Geometria que, regressado recentemente do Brasil, José Morgado preparou para a Delegação Regional do Norte da SPM (então renascida). Ainda me lembro de enviar os apontamentos pelo correio, para lá dos montes, quando os professores não podiam deslocar-se à Faculdade de Ciências do Porto para assistir a essas sessões.

Triângulos rectângulos

Aqui deixamos a lista dos exercícios interactivos sobre triângulos rectângulos que, um dia destes, serão colocados em linha, nesta linha de produção. Nada obsta a que, desde já, se tentem resolver em papel, com lápis, régua e compasso.

Construir um triângulo rectângulo de que se conhece um cateto e a altura (relativa à hipotenusa)

Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a hipotenusa e a altura respectiva.

Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a altura relativa à hipotenusa e a mediana relativa ao vértice do ângulo recto.

Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a altura relativa à hipotenusa e o raio da circunferência inscrita.

Construir um triângulo rectângulo [ABC]de que se conhece a hipotenusa [AB] e a mediana relativa ao vértice B.

Construir um triângulo rectângulo de que se conhece um ângulo agudo e a soma dos comprimentos dos seus lados.

Construir um triângulo rectângulo conhecendo a hipotenusa e a diferença dos comprimentos dos catetos.

Triângulo rectângulo - um caso particular

Pode ser que ainda se lembrem da sugestão da entrada imediatamente antes desta para construção de um triângulo rectângulo.
Para aceder a um exercício interactivo relativo a
A partir do vértice do ângulo recto, determinar um triângulo rectângulo [ABC] de que se conhece só o raio da circunferência inscrita. bastará clicar sobre este seu enunciado.

Triângulo rectângulo

Há uns tempos, apresentámos um problema de construção de um triângulo rectângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita. Mais tarde, lembrámos que aquele problema se podia reduzir a um outro: construir um triângulo rectângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.

Para aceder ao exercício interactivo respectivo, bastará clicar sobre a ilustração que se segue

e que serve também para ajudar a ver como o problema inicial se transforma no segundo.

Ao estudar este exercício interactivo, chegámos a um outro problema que consideramos interessante: A partir do vértice do ângulo recto, determinar um triângulo rectângulo [ABC] de que se conhece só o raio da circunferência inscrita. Pode começar a pensar nele.

Circunferências para um triângulo

No artigo Memórias de Aurélio , para além das construções de circunferências tangentes que foram objecto das últimas entradas, eram propostas actividades de construção de 3 e 6 circunferências tangentes entre si e tangentes aos lados de um triângulo equilátero.

Aos estudantes da turma A do 9º ano propusemos recentemente que estudassem as melhores caixas para empacotar 3, 4 ou 6 bolas dadas, tendo alguns deles apresentado prismas triangulares e pirâmides como boas soluções. Agora propomos-lhes que procurem os círculos que cabem ajustados de determinada forma na caixa triangular que fornecemos.

Há dois modos de apresentar 3 circunferências tangentes duas a duas e tangentes aos lados de um triângulo equilátero, como se pode ver pela ilustração. Apresentamos, por isso, dois exercícios interactivos para os dois processos de construção das 3 circunferências.

Aqui vão como exercícios interactivos os últimos das Memórias de Aurélio. Basta clicar sobre cada uma das ligações para aceder ao exercício respectivo e ensaiar a construção rigorosa que se espera e o computador reconhecerá.

Construção de 3 circunferências iguais e tangentes duas a duas e em que cada uma é tangente a um só lado do triângulo.

Construção de 3 circunferências iguais tangentes duas a duas e em que cada uma é tangente a dois dos lados do triângulo.

Construção de 6 circunferências tangentes duas a duas e tangentes aos lados do triângulo.

3 circunferências tangentes - I I

No artigo Memórias de Aurélio foi recordada uma velha proposta que tinha sido esquecida neste lugar geométrico: Construir três circunferências tangentes duas a duas. Colocámos já há uns dias, como exercício interactivo em Cinderella, o problema da construção das três circunferências dados os seus raios. Agora estamos a propor o exercício interactivo, sobre Zirkel und Lineal - ReC, da construção de três circunferências tangentes duas a duas de que se conhecem os seus centros.
Para aceder a este novo exercício interactivo, clique aqui. Resolva(-se)!

Neste e noutros exercícios, efectuados sobre ReC, a solução pretendida está patente como indicação em cor de rosa. O trabalho consiste em realizar a construção com os instrumentos disponíveis na barra superior. até que o computador reconheça, em mensagem própria, que o processo seguido conduziu ao resultado esperado.

Claro que agradecemos que comentem e, se possível por e-mail, nos façam chegar os resultados dos esforços, bem como eventuais críticas e sugestões sobre estes exercícios.

O despertar dos geómetras - MEDIANAS

O Geometriagon veio mostrar que há muitas pessoas interessadas (e mesmo viciadas) em resolver problemas de construção geométrica. Acontece que a formação do ensino elementar em Portugal não aborda (ou aborda de forma deficiente) conceitos, definições e propriedades relativas a relações entre elementos. À medida que as dúvidas sobre triângulos foram aparecendo, conduzimos os estudantes (e outros) para as lições do Puig Adam que publicamos em tempos, com animações a ilustrar definições e propriedades.
Vamos debruçar-nos, de novo e de outro modo, sobre algumas das propriedades dos elementos dos triângulos, propondo o estudo de exercícios que com elas se relacionam.

MEDIANAS BELEZAS?

Começamos pelas propriedades das 3 medianas de um triângulo [ABC] que unem cada vértice (A, B ou C) ao ponto médio (Ma, Mb ou Mc) do respectivo lado oposto (BC, AC ou AB).
As três medianas passam por um mesmo ponto G, a que se chama baricentro (ou centro de gravidade. vértice comum de três triângulos equivalentes - de igual área - [BGC], [AGC] e [AGB]).
O ponto G é tal que |AG|=2|GMa|, |AG|=2|AMa|/3. E, evidentemente, se tirarmos por um vértice (A) uma recta a passar pelo ponto médio de uma mediana, ela vai dividir o lado oposto (BC) em dois segmentos na razão de 1 para 2. Paralelas a dois lados tiradas por G dividem o 3º lado em 3 partes iguais.
Lembramos que MaMb é paralela a AB, MbMc//BC e MaMc//AC.

Carregando nesta ilustração das propriedades das medianas
de um triângulo tem acesso a um exercício interactivo
de construção de um triângulo a partir de um lado e
de duas das suas medianas. Não quer tentar?

Não será interessante provar todas aquelas propriedades?
Já agora vale a pena lembrar que a divisão de um segmento em três partes iguais proposta por Afonso Graça (e que tanto nos intrigou) é afinal uma aplicação das propriedades das medianas de um triângulo. Não é?

3 circunferências tangentes - I

Não recebemos propostas. Sabemos que a época é má. Aqui deixamos um exercício interactivo de construção de 3 circunferências tangentes de que são dados os raios. Toca a tentar.

Para aceder ao exercício interactivo, clique aqui.