Pentágono pelo lado (3)

Mais uma construção feita em ReC - Régua e Compasso - Zirkel und Lineal de René Grothmann. para treinar. Se quiser e puder pode criticar e sugerir alterações.

O lado dado é [AB]. Comecemos por desenhar as circunferências sobre as quais estarão os dois vértices contíguos a A e a B - centradas em A e em B e de raio |AB|. Tomamos os pontos de intersecção destas circunferências que definem a mediatriz de AB onde se encontrará o vértice oposto a AB. Tracemos a circunferência centrada em Z que passa por A e B. Os pontos X e Y simétricos relativamente à mediatriz de AB permitem determinar os vértices C e E. D vem óbvio.

Pode experimentar movimentar A e B.

Pentágono regular pelo lado (2)

A solução para a construção do pentágono de que se conhecia o lado que tanto Arsélio como Aurélio tinham na cabeça utilizava a construção clássica de um pentágono inscrito seguida de uma homotetia de centro no centro da circunferência. Aqui fica a construção respectiva feita em ReC - Régua e Compasso - Zirkel und Lineal de René Grothmann. utilizada no projecto Geometriagon, de G. Artico, que adaptamos para português.
Pode manipular a construção a partir de alguns dos seus pontos como habitualmente.

Nas cordas

Aurélio Fernandes insistiu em apresentar como desafio, no seguimento de anterior, a determinação de uma recta r que corte duas circunferências C₁ e C₂ dadas segundo cordas de que são dados os comprimentos c₁ e c₂, respectivamente.

Figuras equivalentes

Já por aqui apresentámos exercícios de equivalência de figuras, a saber: fizemos a quadratura (?) de um rectângulo qualquer e a determinação de um triângulo com a mesma área de um polígono qualquer, e não sei se mais alguma equivalência. Estou agora a propor que se estude a construção (só razoável?)
de um triângulo equivalente a um círculo dado;
de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado;
de um círculo equivalente a um triângulo dado;
de um círculo equivalente a uma coroa circular dada.

Do lado do pentágono regular

A verdade é que, quando coloquei a questão da construção de um pentágono regular de que se conhece o lado, não esperava que houvesse uma resposta como aquela que deu João Miguel Guerra Vieira (aluno da turma C do 11º ano na Escola José Estêvão).



Depois de ter justificado a divisão em cinco partes iguais feita a uma circunferência e com base nessa compreensão, João Miguel Vieira propôe a construção que aqui ilustramos. Tomou |AB|=5. Determinou M: |AM|=|MB| e L: ALM é triângulo rectângulo e |AL|=|AB|. Com centro em M e raio |ML| determinamos K. |AK| = 5.(1+raíz de 5)/2 (5x número de ouro) = diagonal do pentágono de lado 5 (|AC|=|BE|=|AD|=|BD|). Circunferências de raio |AK| centrados em A e B determinam D. Como intersecção da circunferência centrada em A e de raio |AB| com a circunferência centrada em B e raio |AK|, determinamos E. de modo análogo, determinamos C. É uma boa ideia.

E é claro que a construção de J. Vieira mostra que não é preciso conhecer o círculo circunscrito ao pentágono regular para a sua construção a partir do lado dado. Também se perguntava isso. A resposta não tardou.

Para quem se interessar pelo trabalho de João Miguel a respeito de pentágonos, aqui deixamos as 4 páginas manuscritas que nos ajudaram a perceber melhor e de outra forma o problema que tínhamos proposto. Podem ser descarregadas em páginas separadas no formato (.pdf): página 1; página 2; página 3; página 4.

Damos os parabéns ao João Miguel. E agradecemos à Mariana que nos trouxe e apresentou o João Miguel (como já nos tinha apresentado Afonso Graça).

uma ajuda? de presente em presente

Nunca pensámos em publicar a construção rigorosa do pentágono regular inscrito numa circunferência de raio dado (esta construção tem explicação matemática feita por A J Moreira Antunes na Gazeta da Matemática (SPM), depois de ter sido objecto de muita discussão por aqui na escola ao tempo da construção do dodecaedro - universo - que está no jardim). Aqui vai o desenho da coisa, em que M é ponto médio de OP, |MQ|=|MA| e |AQ|=|AB|... Penso que chega para se entender a construção.

Construir um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio dado é assim.
E construir um pentágono regular de lado dado (lado 5, no caso)? Como determinar o círculo em que o pentágono se inscreve? E é preciso determinar um círculo?

Já agora! E construir, só com compasso!, os 5 pontos igualmente espaçados sobre uma circunferência dada? Como é?

Aqui fica a construção dinâmica de António Aurélio Fernandes, passados anos.....

[A.A.F.]