A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

24.8.11

De um friso (p111) para um papel de parede (p1)




Tome-se o friso da entrada anterior. Por translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ (independentes) aplicadas à figura
(motivo mínimo, "primitive(?)")
,
obtém-se o padrão plano que se ilustra a seguir.
As translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ constituem simetrias da figura. Clicando sobre os diversos botões pode ver os vetores associados e os pontos que pode deslocar para verificar as simetrias de translação ($\vec{u}\quad$, $\vec{v}\quad$ e $\quad m.\vec{u}+n.\vec{v}\quad$ $m, n \in \mathbb{Z}$). Para além destas, não há quaisquer outras simetrias (não triviais, claro).

p1

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19.8.11

Grupos de simetrias do plano: do particular para o geral



1. Rosáceas

Os chamados grupos de simetria de Leonardo (rosáceas) constituem-se como grupo de transformações do plano - finito, discreto, de rotações, reflexões e suas compostas - em que os eixos das reflexões passam pelo centro das rotações e, por isso, é um grupo de transformações em que há um ponto que é transformado em si mesmo. As amplitudes das rotações são sempre (em graus) quocientes das divisões (de resto $0$) de $360^o$ por um divisor inteiro.

2.Frisos

As ilustrações dos sete frisos, apresentadas em entradas anteriores, são o catálogo completo dos grupos de transformações (infinitos, discretos) do plano em que "se há uma simetria de translação segundo um vetor $\vec{u}$, todas as translações associadas a vetores $n\times\vec{u}, n\in\mathbb{Z}$ (e só essas de entre todas as translações do plano) são simetrias". (Claro que pode haver (ou não) outras simetrias para além das translações). Estes grupos de simetrias transformam pontos do plano em pontos do plano e de tal modo que as imagens dos pontos da figura original são outros pontos da figura, que se mantém, sem que qualquer ponto seja transformado em si mesmo. As rectas com a direcção dos vetores associados às translações são imagens de si próprias.


Esta construção ilustra (de novo!) os resultados acima referidos. Claro que se refere ao friso em que só há simetrias de translação associadas aos vetores $n\times\vec{u}, n\in \mathbb{Z}$, mas os resultados que, sobre ele, pode verificar, são os mesmos para qualquer friso (no que respeita às simetrias de translação presentes em todos os frisos). Clicando sobre o botão simetrias de translação, verá aparecer um ponto triangular que pode movimentar livremente sobre a direção de $\vec{u}$, podendo ver que a translação $t$ associada ao $\vec{u}$ é uma simetria, como o é $t^{-1}$ - translação associada ao vetor $-\vec{u}$ , $t\circ t=t^2$ - associada ao vetor $2\times \vec{u}$, etc

3. Completando o mural das simetrias do plano: Papel de parede

Há 17 modos adicionais de grupos de simetrias (infinitos e discretos) do plano. Tomando para ponto de partida os frisos em que há simetrias de translação associadas a vetores que dependem de um único vetor $\vec{u}$ ($n.\vec{u}$, com $n$ inteiro: discreto, numa direção), considerem-se agora dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, independentes (não paralelos ou seguindo direções diferentes), e as combinações lineares $m\times \vec{u}+n \times\vec{v}$ com $m,n \in \mathbb{Z}$ e as translações a elas associadas como simetrias do plano. É claro que haverá outras simetrias. É óbvio que os frisos são um caso particular deste (basta pensar em $m=0 \wedge n\neq 0$ para termos o friso associado a $\vec{v}$ ou $n=0 \wedge m\neq 0$ e termos o friso associado a $\vec{u}$). Veremos que, de certo modo, entre eles se encontrarão as rosáceas, se não contássemos com as (enumeráveis, inumeráveis, numeráveis ;-) infinitas translações.

De um modo geral, chamamos padrões planos a todos estes grupos de simetrias do plano.

Vamos começar com a construção de um "wallpaper: papel de parede", a partir do friso ilustrado acima em que as únicas simetrias presentes serão mesmo translações (desprezando todas as simetrias triviais).

11.8.11

Notações para padrões de frisos.

As notações convencionadas para classificar cada padrão de friso consistem em quatro símbolos ordenados da esquerda para a direita.
  1. Na primeira posição há sempre um p a indicar que o padrão se repete de forma periódica numa direcção horizontal.
  2. Na segunda posição pode aparecer m ou 1: mirror (espelho), caso haja uma simetria de reflexão com eixo vertical; 1 em caso contrário.
  3. Na terceira posição pode aparecer m, a (de alternating) ou 1: m caso haja uma simetria de reflexão com eixo horizontal, a caso haja uma simetria de reflexão deslizante (mas não de reflexão horizontal) ou 1 em caso de não haver qualquer dessas simetrias.
  4. Na quarta posição pode aparecer 2 caso haja uma simetria rotacional (de meia volta) ou 1 em caso contrário.
Em qualquer das posições, 1 sgnifica que o padrão não tem a simetria correspondente à posição, sendo que
  • o primeiro símbolo p indica simetria de translação horizontal,
  • na segunda posição indica-se se há ou não há simetria de reflexão vertical,
  • na terceira posição indica-se se há ou não alguma simetria de reflexão (m ou a) associada a direção horizontal e
  • na quarta posição indica-se se há ou não simetria rotacional de meia volta.

A ilustração que se segue pretende ser o quadro que discrimina simetrias de cada um dos 7 padrões de frisos. A última linha, com as respectivas notações, fecha o quadro.



Dorothy V. Washburn and Donald W Crowe. Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. University of Washington Press. Seatle: 1988


Toda esta entrada é uma adaptação livre de um texto do capítulo "Symmetry and Patterns. Garfunkel S.(dir.); Steen, L(coord.);Campbell P. (author) For all Practical Purposes - Introduction to Contemporary Mathematics. 3rd edition. COMAP. NY:1994". Com ela pretendemos esclarecer as notações que fomos colando a cada tipo de friso e ue aparecem em quase todas as publicações sobre o assunto. A este respeito, preferimos descrições (mesmo com abusos) do grupo de simetrias de cada friso.

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9.8.11

Grupo de simetrias gerado por duas reflexões verticais e uma horizontal

Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s1 e s2 respectivamente relativas aos eixos e1 e e2 paralelos (verticais) e uma outra reflexão s3 relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s1(d), s2(d), s1(s2(d)), (d)), s2(s1(d)), s1(s2(s1(d)), s2(s1(s2(d)), etc, e, em nova fila, as imagens da primeira fila, pela reflexão s3.



pmm2

A classificação acima justifica-se por sabermos que há também uma simetria de meia volta (a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma meia volta), assim como há simetria de translação (a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação).

O grupo de simetrias associado a este friso é
{tn}n ∈ Ζ  ∪ {tn.v}n ∈ Ζ   ∪  {tn.h}n ∈ Ζ  ∪ {tn.v.h}n ∈ Ζ

em que t é uma translação, v uma reflexão de eixo vertical e h uma reflexão de eixo horizontal.

Seguem-se duas pequenas construções para que possa verificar os resultados referidos acima.


   


Fica óbvio que esse friso pode obter-se de várias maneiras. Pode realizar novas construções.

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6.8.11

Grupo de simetrias gerado por reflexão deslizante e meia volta ou...

Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso e, no seu conjunto, esgotam os 7 tipos de frisos diferentes existentes. Alguns destes frisos podem ser obtidos, obviamente, de modos diferentes usando transformações diferentes. Temos vindo a indicar os grupos de simetria associados a cada friso.

O friso, cuja construção a seguir se ilustra, é gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma meia volta - r - de centro no bem visivel rombo verde. O grupo das suas simetrias respectivo é {gn | n ∈ Ζ} ∪ {gn.r | n ∈ Ζ}, em que g0 é a transformação identidade.
Ao ver a construção passo a passo, a partir do g0(d)=d inicial, verá g1 (d), g-1(d), g2(d), g-2(d), etc e depois g1.r (d), g-1.r(d), g2.r(d), g-2.r(d), etc.






Este tipo de friso também pode ser gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma reflexão vertical - v : {gn | n ∈ Ζ} ∪ {gn.v | n ∈ Ζ. Pode seguir a construção passo a passo do mesmo modo, agora por esta ordem: g0(d)=d, g1 (d), v.g1 (d), etc




pma2

Assim aparece classificado este tipo de friso nos quadros de
Dorothy Washburn and Donald Crowe. Symmetries of Culture:Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. U.W. Pressg, Seatle:1988

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3.8.11

Grupo de simetrias gerado por translação e reflexão vertical

Na abordagem de grupos de simetrias infinitos que são ilustrados por repetições periódicas de algum motivo numa direção (horizontal, por facilidade), temos apresentado diferentes ilustrações (ou composições), as transformações geométricas geradoras de cada grupo de simetrias e mesmo o conjunto dessas transformações. Antes do friso que ora apresentamos, as transformações geométricas mobilizadas foram translações, meias voltas, reflexões associadas a um eixo horizontal e reflexões deslizantes associadas a um eixo e vetor com a mesma direção horizontal. Apresentamos agora um friso que corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vetor u (horizontal) e uma reflexão v relativamente a um espelho (v) de direção (vertical) perpendicular à do vetor associado à translação.
Pode acompanhar-se, por uso de botões de navegação, a criação da composição a partir de um d(=t0(d)), t1(d), t-1(d), t2(d), t-2(d), etc e depois um primeiro b(=v(d)=v(t0 (d))), v(t1 (d)), etc.

O grupo das simetrias ilustrado neste friso é pois {tn | n∈Ζ} ∪ {tn.v | n ∈Ζ}.



pm11

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