3.7.11

Um grupo de simetria gerado por uma meia volta e uma translação

Partimos de um elemento figurativo que, por uma translação associada a vetores u e -u, decora uma fita com infinitas pequenas figuras todas iguais (seguindo uma mesma direção e um mesmo sentido) tal como se mostrou na primeira ilustração de friso. Neste novo friso, acontece que a cada uma das figuras corresponde uma outra obtida por rotação r de 180 graus (meia volta) em torno de um ponto sobre uma recta com a direção de u. É óbvio que assim o conjunto das duas filas horizontais de figuras pode ser obtido por translação a partir de um par de figuras de que um dos seus elementos se obtém por meia volta sobre o outro. Note-se que, qualquer centro da meia volta é transformado noutro pela translação e, em consequência, em relação a cada centro, uma figura elementar do friso superior tem por imagem a figura do friso inferior equidistante desse centro.
Para ver o vetor u da translação associada, clique no botão 'translação' e para verificar a simetria de translação, desloque o ponto que aparece de novo, na origem do vetor. Para não complicar a figura, volte ao princípio (botão automático da construção, em cima à direita) e, clicando no botão 'meia volta?', desloque o ponto verde no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio para ver a simetria por meia volta. Para além das simetrias de translação, pode acontecer a simetria de meia volta num friso.... O conjunto das simetrias deste friso é, portanto, {tn|n∈Ζ}∪{tn.r|n∈Ζ}




Se quiser ver os conjuntos de pontos que são centros das várias meias voltas, clique no botão 'listas'.



Na anterior entrada (primeira de friso), o grupo de simetria é gerado por uma só translação. A transformação geométrica translação é elemento comum a todos estes grupos de simetrias - frisos- em que há rectas paralelas ao vector associado à translação pela qual são imagens de si próprias, sem que qualquer ponto se mantenha invariante. Nesta entrada, consideramos as rotações de 180 graus (e obviamente de 360 graus e outros múltiplos de 180). Num friso, não podemos considerar rotações de amplitudes diferentes daquelas. Mas podemos considerar reflexões em eixos horizontais (paralelos ao vector da translação) e relativamente a eixos verticais (perpendiculares à direcção das repetições). A composta ou produto de reflexões de eixos paralelos é uma translação - um objecto colocado entre dois espelhos paralelos cria uma vista de friso de imagens todas iguais a esse objecto. Lembramos que o produto de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação....



Nas classificações de frisos, para além da letra p (inicial, de periódico) que aparece nas classificações de todos os frisos, pode aparecer em segunda posição m (mirror: espelho) se houver reflexão vertical (ou 1, nessa posição se não houver reflexão vertical); m em 3ª posição se houver reflexão horizontal ou a (de alternate) se houver reflexão deslizante (ou 1, em caso de não haver), 2 em 4ª posição caso haja meia volta (ou 1, caso não haja meia volta).

De acordo com estas notações, o primeiro friso (da entrada anterior) é p111, e o desta entrada é p112.

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2 Commentários:

Blogger vera viana escreveu...

O Arsélio sempre a surpreender-nos...! Parabéns, está belíssimo!

7:07 da tarde  
Blogger A. Martins escreveu...

Fico contente por teres gostado do que ficou à vista...
Como estás? Como está a APROGED? Estamos a publicar construções que ilustrem todos os tipos de grupos de simetria. Ainda vai durar. Já nos deparámos com problemas de construção derivados das tentativas de oferecer simulações que esclareçam os conceitos em causa. Se encontrares algum problema, diz. Nós agradecemos. Como sempre.
Obrigado

8:41 da tarde  

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