Uma circunferência que roda e as tangentes com uma dada direção

Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?



A circunferência c roda em torno de P (um dos seus pontos). Para cada posição de c' há duas tangentes (t₁ e t₂) a c' paralelas a r (reta dada) e dois pontos de tangência (T₁ e T₂), cada um deles descrevendo a sua circunferência. Onde estarão os centros destas circunferências?

Trapézio com elementos fixos, lugar geométrico da interseção das diagonais

Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.



A animação da figura é feita de tal modo que se mantém rígido, na sua posição, o lado AD e se mantêm invariantes os comprimentos das bases bem como a sua direção. (Não sugere uma rotação no espaço em torno do lado AD?)
Nessa animação, o ponto de interseção das diagonais percorre uma circunferência. Isso significa que, para além do lado AD, há um ponto fixo (o centro da circunferência). Que ponto é esse e qual a sua posição relativamente aos elementos do trapézio?

Mais lugares geométricos básicos (Th. Caronnet)

1. Determinar o lugar dos pontos de intersecção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.
2. Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?
3. O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?
4. É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos M de interseção das retas BC' e CB'?
5. Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB´e BA'?
6. Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?
7. Seja o trapézio ABCD em que A e B são fixos, os lados paralelos têm comprimentos dados, AD=a e BC=b. Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais quando o trapézio roda em torno do lado AB.
8. Qual é o lugar dos pontos de que se vêm dois círculos sob o mesmo ângulo?

Lugar dos pontos de tangência em lado variável de ângulo de duas rectas

É dado um ângulo XÔY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual é o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?

Ponto das tangentes a uma circunferência

Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual é o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?

A circunferência reflectida numa das suas tangentes

São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto T da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?

Euclides. Elementos, Livro VI - Proposição XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a útlima proposição do Livro VI. Aqui fica uma construção dinâmica, acompanhada de resultados particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstração copiada do papelinho que ela apresentou ao Lugar Geométrico.
António Aurélio interessou-se pelo tipo de problema e demonstração e logo apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que não era costume do blog, mas não parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder vencê-los, junta-se a eles. Por isso, é bem possível que, na senda destes, outros resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstrações. O futuro dirá.

Proposição:
Seja um qualquer triângulo, ABC, inscrito numa circunferência de raio r. Chamamos aos lados a=BC, b=AC e c=AB e h_a à altura relativa a a tirada de A. Nestas condições, prova-se que bc=2rh_a.