28.11.10

Pontos distanciados proporcionalmente de um ponto e de uma circunferência

Determinar o lugar geométrico dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.




Há ainda outras duas circunferências que tentamos colocar visíveis numa construção inteligível para o espaço disponível neste lugar.

27.11.10

Pontos que dividem segmentos paralelos entre secantes numa razão dada

Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta a dada e limitados por duas retas secantes r e s.




Pode variar p e q para ver como se mantêm iguais as razões.

25.11.10

Pontos distanciados proporcionalmente a duas rectas paralelas

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q



Ainda outros lugares geométricos

  1. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q.
  2. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta dada e limitados por duas retas secantes r e s.
  3. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.
  4. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas secantes é igual a m/n.
  5. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.
  6. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar do quarto vértice M do paralelogramo de que dois lados são AA' e A'B'.
  7. Determinar o lugar dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é igual a a2.

22.11.10

Tirar tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

No 9º ano de escolaridade, estudam-se os lugares geométricos: retas e segmentos, circunferências e círculo; inscrição de segmentos, ângulos e polígonos em círculos. No fundo estudam-se as posições relativas de cada uma delas relativamente a cada uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a circunferência de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma recta a pode ser exterior a uma circunferência de raio r e centro O (r< d(O,a)), tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente é o mais estudado já que a consequência imediata de r=d(O,t) é a tangente (t em T) ser perpendicular ao raio OT o que sugere fortemente uma construção com régua e compasso. No 9º ano, insiste-se, e bem, na construção que recorre ao triângulo retângulo OTP (inscrito numa semicircunferência de diâmetro OP, para ser retângulo no vértice do triângulo que é ao mesmo tempo o ponto de tangência seguro). Na ilustração dinâmica que se segue, o primeiro método é esse. Mas não será descabido deixar pistas de outras construções que, para além de tudo o resto, podem ser estudadas (e validadas) usando raciocínios dedutivos. O segundo método usa uma circunferência auxiliar, concêntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferência de diâmetro OP, usa uma circunferência centrada em P e raio OP.



18.11.10

Ponto de uma recta para ver dois pontos segundo um mesmo ângulo

O problema que agora propomos como exercício interactivo foi sugerido pela entrada anterior.
Temos dois pontos A e B de um mesmo semi-plano determinado por uma recta RS. O problema será determinar o ponto P da recta NS tal que são iguais os ângulo APN e BPS.
Os passos da resolução deste exercício são os mesmos de antigas respostas a outros enunciados.


16.11.10

De onde ver dois círculos sob o mesmo ângulo

Qual é o lugar geométrico dos pontos de que se vêem dois círculos sob o mesmo ângulo?

Há dois pontos que definem o lugar geométrico: os centro das homotetias O e O' que transformam uma circunferência na outra. Repare-se que cada tangente tirada por O (ou O') à circunferência de centro A é também tangente à circunferência de centro B.



11.11.10

Retângulos inscritos num triângulo e interseção das diagonais

Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?


10.11.10

Paralelas, secantes por um ponto e lugar da interseção de diagonais

Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB'e BA'?


9.11.10

Lugar da interseção das diagonais de um trapézio inscrito num triângulo

É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos P de interseção das retas BC' e CB'?


8.11.10

Triângulo: Pé da bissectriz de um ângulo com um lado fixo

O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?




O lugar geométrico do pé da bissectriz de A quando C percorre uma circunferência centrada em A e raio dado é uma circunferência. Como determina o seu centro?

5.11.10

Uma circunferência que roda e as tangentes com uma dada direção

Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?



A circunferência c roda em torno de P (um dos seus pontos). Para cada posição de c' há duas tangentes (t1 e t2) a c' paralelas a r (reta dada) e dois pontos de tangência (T1 e T2), cada um deles descrevendo a sua circunferência. Onde estarão os centros destas circunferências?

4.11.10

Trapézio com elementos fixos, lugar geométrico da interseção das diagonais

Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.



A animação da figura é feita de tal modo que se mantém rígido, na sua posição, o lado AD e se mantêm invariantes os comprimentos das bases bem como a sua direção. (Não sugere uma rotação no espaço em torno do lado AD?)
Nessa animação, o ponto de interseção das diagonais percorre uma circunferência. Isso significa que, para além do lado AD, há um ponto fixo (o centro da circunferência). Que ponto é esse e qual a sua posição relativamente aos elementos do trapézio?

Mais lugares geométricos básicos (Th. Caronnet)

  1. Determinar o lugar dos pontos de intersecção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.
  2. Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?
  3. O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?
  4. É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos M de interseção das retas BC' e CB'?
  5. Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB´e BA'?
  6. Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?
  7. Seja o trapézio ABCD em que A e B são fixos, os lados paralelos têm comprimentos dados, AD=a e BC=b. Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais quando o trapézio roda em torno do lado AB.
  8. Qual é o lugar dos pontos de que se vêm dois círculos sob o mesmo ângulo?

3.11.10

Lugar dos pontos de tangência em lado variável de ângulo de duas rectas

É dado um ângulo XÔY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual é o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?


2.11.10

Ponto das tangentes a uma circunferência

Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual é o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?




1.11.10

A circunferência reflectida numa das suas tangentes

São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto T da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?


31.10.10

Euclides. Elementos, Livro VI - Proposição XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a útlima proposição do Livro VI. Aqui fica uma construção dinâmica, acompanhada de resultados particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstração copiada do papelinho que ela apresentou ao Lugar Geométrico.
António Aurélio interessou-se pelo tipo de problema e demonstração e logo apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que não era costume do blog, mas não parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder vencê-los, junta-se a eles. Por isso, é bem possível que, na senda destes, outros resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstrações. O futuro dirá.

Proposição:
Seja um qualquer triângulo, ABC, inscrito numa circunferência de raio r. Chamamos aos lados a=BC, b=AC e c=AB e ha à altura relativa a a tirada de A. Nestas condições, prova-se que bc=2rha.





2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção