A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

25.8.09

Uma viagem do circuncentro

Considere ainda o triângulo ABC, em que C é um ponto livre sobre uma recta. Pode observar o rasto do circuncentro quando o vértice C percorre a recta.





Pode fazer variar a recta, deslocando R.
E pode mudar mesmo os pontos A e B, claro!
Que conclui?

24.8.09

As viagens do incentro

E a viagem do incentro dos triângulos ABC, enquanto C percorre uma recta?
Que acontece quando faz variar a recta r (usando R)?



A viagem do ortocentro

Po onde andará o ortocentro de um triângulo ABC enquanto C viaja sobre uma recta?





Pode deslocar C sobre r para ver H descrever o seu lugar geométrico. Pode deslocar o ponto R para mudar a recta em que C se desloca.

22.8.09

A viagem especial do baricentro

A última entrada propunha olhar para o lugar geométrico dos pontos notáveis dos triângulos ABC em que A e B são extremos de um arco de circunferência (pontos sobre uma circunferência) e C percorre o arco AB.

Essa entrada lembrou-nos a forma redutora como, por razões utilitaristas e de circunstância, apresentamos aos estudantes alguns lugares geométricos. No básico, e depois no secundário em problemas analíticos, centramo-nos muito no lugar geométrico do baricentro quando um vértice percorre uma recta paralela ao seu lado oposto.

Será que perdemos alguma coisa por não considerarmos uma recta qualquer?





O que é que acontece se a recta r em que se desloca B não for paralela a AC? Pode modificar as posições de r relativas a AC, deslocando R. Pode mudar tudo.
Se deslocar B sobre a recta r obterá o rasto de G no seu lugar geométrico.

Não é melhor manter o caso mais geral? Ou abri-lo sempre para grupos de alunos, tanto em termos básicos como em termos de geometria analítica?

21.8.09

Arcos

Na anterior entrada, propusemos um olhar sobre o lugar geométrico de pontos P obtidos por secantes a uma circunferência perpendiculares - AP e BP - determinando uma delas por um ponto M, livre na circunferência. Podem apresentar-se aos estudantes outros casos interessantes. Por exemplo, determinar o lugar geométrico dos pontos P sobre uma recta AM e tal que MP=BM, em que A é o extremo do arco e M livre sobre o arco AB da circunferência.



Nesta entrada, propomos que se tome um ponto C sobre o arco AB. Qual será o lugar geométrico de cada um dos pontos notáveis do triângulo ABC, quando C percorre AB?





Defina cada um dos lugares geométricos e explique-os, se possível. A e B, deslocando-se, permitem definir novos arcos. Deslocando C sobre o arco AB, pode obter o rasto dos pontos notáveis do triângulo.

Para os estudantes do ensino secundário, ganha interesse especial a escolha de referenciais seguida da determinação das equações dos lugares geométricos.

19.8.09

Arcos

Tomámos um arco de circunferência AB e um ponto M livre em AB. Chamamos P às projecções ortogonais de B sobre AM. Qual será o lugar geométrico dos pontos P quando M percorre AB ?






Pode deslocar M sobre AB e A ou B para mudar de arco...
Haverá algum caso em que P descreve o próprio AB?

16.8.09

Olhar um ponto fixo

Tomámos um triângulo ABC, rectângulo em B. Por B passamos a recta r, sobre a qual projectamos ortogonalmente A e C, obtendo M e N. A animação que se segue permite ver que, quando r varre o triângulo, as circunferências de diâmetro MN têm um ponto fixo e permite ver que são envolvidas por uma curva cordial.





Qual será o lugar geométrico dos centros das circunferências de diâmetro MN, quando as rectas r que passam por B varrem o plano?

15.8.09

o lugar geométrico e o problema

Temos uma circunferência de centro O e um ponto P exterior, no caso do exercício interactivo que se mostra. Como determinar rigorosamente os pontos M e N da circunferência (apontados em cor de rosa), colineares com P e tais que |MN|=|MP|?






No caso presente, para aquela circunferência e aquele ponto P, os pontos respeitando as relações de M e N serão únicos?


Para além de procurarmos quais os passos da construção geométrica para a determinação de M e N, podemos discutir a existência de soluções, para circunferências e pontos P com outras posições relativas.

13.8.09

O lugar geométrico

Para os exercícios e problemas de construção, é muito útil saber as definições. É útil saber que a mediatriz de um segmento AB é a perpendicular a AB tirada pelo seu ponto médio. Mas, para resolver alguns problemas, é ainda mais útil reconhecer a mediatriz pelas suas propriedades, por exemplo, saber que os pontos da mediatriz são equidistantes de A e B e que um qualquer ponto fora dela não está à mesma distância de A e de B. Dizemos que a mediatriz de AB é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B, com esse sentido.
O "lugar geométrico" não só foi sendo menos usado no ensino básico, como foi sendo diminuído até ser só parte do que é de facto. Não chamamos lugar geométrico a qualquer conjunto de pontos satisfazendo uma determinada propriedade.

Aqui fica um exercício interactivo do ensino básico, para o qual são úteis lugares geométricos e propriedades dos quadriláteros.
Boas escolhas!

Tomámos um ângulo AÔB. Queremos determinar um ponto M do lado OA de tal modo que |MA|=|OP|, sendo P um ponto de OB e de uma perpendicular a OB tirada por M (ou, dito de outro modo, sendo P a projecção ortogonal de M sobre OB)






Estes problemas ganham um novo interesse para os estudantes com a discussão da existência e da unicidade da solução.



Estamos a aproveitar para chamar a atenção para a importância dos lugares geométricos na resolução de problemas formativos. A divulgação de construções dinâmicas de lugares geométricos ao longo das últimas semanas será prosseguida com a apresentação de problemas em que a abordagem pela via dos lugares geométricos é útil.

E aproveitamos para defender o ponto de vista ou conselho de Aurélio Fernandes (ou do seu mentor Caronnet) para enfrentar estes problemas: Com uma folha de papel e um lápis, parta de um esboço do problema como se estivesse já resolvido...

9.8.09

Por puro acaso





Elipses. Para cada uma delas, tangentes e perpendiculares às tangentes nos pontos de tangência. Perpendiculares a estas perpendiculares tiradas pelos extremos do eixo maior intersectam-se em pontos que descrevem as curvas desta entrada ...

7.8.09

Estrofóide?

Temos vindo a desenhar algumas curvas, definidas como lugares geométricos e usando quando muito operações com segmentos. Para cada uma das curvas, as nossas construções de férias seguem o "Tratado das Curva" de F. Gomes Teixeira, de que há um exemplar na nossa Escola José Estêvão. Nesta publicação, não tratamos do estudo das equações das curvas. Mas pode ser um interessante trabalho para os estudantes a escolha dos melhores referenciais, para relativamente a eles, determinar as equações que são satisfeitas pelos pontos das curvas aqui sempre descritas como lugares geométricos. Isso está apontado no Tratado das Curvas.

Tomamos uma circunferênciua de centro C e um diâmetro OA. Tomemos uma outra recta a passar pelo centro CK a fazer um ângulo α com OA. Consideremos um ponto D, sobre a circunferência, e o ponto E de intersecção de CK com OD. Finalmente, tomamos o ponto M sobre OD e tal que |OM|=|OD|-|OE|.

Chamamos estrofóide ao lugar geométrico dos pontos M quando D percorre a circunferência em que incide. Estrofóide recta quando α=1 recto; estrofóide oblíqua quando OA e KC não são perpendiculares.

Assim:

Estrofóide recta






Estrofóide oblíqua


4.8.09

As espíricas, as lemniscatas

Tomemos um segmento de comprimento k e dois pontos F e F'.

É uma espírica (ou lemniscata?) a curva descrita pelos pontos P cujas distâncias a F ( |PF|=r) e F' ( |PF'|=r' ) sejam tais que o seu produto |PF|.|PF'| seja constante (k no caso):

r.r'=k



Pode deslocar os vários elementos - r, para ver o ponto P a descrever a curva - k, para fazer variar as espíricas. Verá que pode obter (uma ou duas) circunferências, elipses, ovais, ... enfim, todas as curvas que se possam obter por cortes do "toro".

Há vários tipos de lemniscatas. Interessante notar que a lemniscata se pode obter por inversão da elipse:
|OP|.|OP'|=1




Das leminiscatas, a mais famosa é a conhecida por lemniscata de Bernoulli


1.8.09

Oval de Descartes

Tomem-se dois segmentos h e k (e um terceiro unitário, para fazer contas) e dois pontos F e F'. Uma oval é o lugar geométrico dos pontos P cujas distâncias a F - |PF|=r - e a F' - |PF'|=r' - sejam tais que
r±hr'=±k




Pode deslocar os vários elementos fazendo variar as ovais, como é óbvio.

A seguir publicamos a animação respectiva.




Usando as ferramentas dos cantos inferior esquerdo e superior direito , pode parar e recomeçar a animação, pode voltar ao princípio, etc.

27.7.09

Cissóides?

Tomamos um ponto O e duas curvas a (a verde) e b (a azul) e uma recta que passa por O e corta ambas as curvas (em P a curva a e em Q a curva b).





A vermelho está assinalado o lugar geométrico dos pontos diferença: |OD|=||OQ|-OP||
A azul fica assinalado o lugar geométrico dos pontos soma: |OS|=|OP|+|OQ|


Pode sempre fazer variar as curvas e o ponto O, obtendo diversos lugares geométricos.
Pode deslocar o ponto P sobre a curva a e ver os pontos D e S a descrever os correspondentes lugares geométricos.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção