A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

9.8.09

Por puro acaso





Elipses. Para cada uma delas, tangentes e perpendiculares às tangentes nos pontos de tangência. Perpendiculares a estas perpendiculares tiradas pelos extremos do eixo maior intersectam-se em pontos que descrevem as curvas desta entrada ...

7.8.09

Estrofóide?

Temos vindo a desenhar algumas curvas, definidas como lugares geométricos e usando quando muito operações com segmentos. Para cada uma das curvas, as nossas construções de férias seguem o "Tratado das Curva" de F. Gomes Teixeira, de que há um exemplar na nossa Escola José Estêvão. Nesta publicação, não tratamos do estudo das equações das curvas. Mas pode ser um interessante trabalho para os estudantes a escolha dos melhores referenciais, para relativamente a eles, determinar as equações que são satisfeitas pelos pontos das curvas aqui sempre descritas como lugares geométricos. Isso está apontado no Tratado das Curvas.

Tomamos uma circunferênciua de centro C e um diâmetro OA. Tomemos uma outra recta a passar pelo centro CK a fazer um ângulo α com OA. Consideremos um ponto D, sobre a circunferência, e o ponto E de intersecção de CK com OD. Finalmente, tomamos o ponto M sobre OD e tal que |OM|=|OD|-|OE|.

Chamamos estrofóide ao lugar geométrico dos pontos M quando D percorre a circunferência em que incide. Estrofóide recta quando α=1 recto; estrofóide oblíqua quando OA e KC não são perpendiculares.

Assim:

Estrofóide recta






Estrofóide oblíqua


4.8.09

As espíricas, as lemniscatas

Tomemos um segmento de comprimento k e dois pontos F e F'.

É uma espírica (ou lemniscata?) a curva descrita pelos pontos P cujas distâncias a F ( |PF|=r) e F' ( |PF'|=r' ) sejam tais que o seu produto |PF|.|PF'| seja constante (k no caso):

r.r'=k



Pode deslocar os vários elementos - r, para ver o ponto P a descrever a curva - k, para fazer variar as espíricas. Verá que pode obter (uma ou duas) circunferências, elipses, ovais, ... enfim, todas as curvas que se possam obter por cortes do "toro".

Há vários tipos de lemniscatas. Interessante notar que a lemniscata se pode obter por inversão da elipse:
|OP|.|OP'|=1




Das leminiscatas, a mais famosa é a conhecida por lemniscata de Bernoulli


1.8.09

Oval de Descartes

Tomem-se dois segmentos h e k (e um terceiro unitário, para fazer contas) e dois pontos F e F'. Uma oval é o lugar geométrico dos pontos P cujas distâncias a F - |PF|=r - e a F' - |PF'|=r' - sejam tais que
r±hr'=±k




Pode deslocar os vários elementos fazendo variar as ovais, como é óbvio.

A seguir publicamos a animação respectiva.




Usando as ferramentas dos cantos inferior esquerdo e superior direito , pode parar e recomeçar a animação, pode voltar ao princípio, etc.

27.7.09

Cissóides?

Tomamos um ponto O e duas curvas a (a verde) e b (a azul) e uma recta que passa por O e corta ambas as curvas (em P a curva a e em Q a curva b).





A vermelho está assinalado o lugar geométrico dos pontos diferença: |OD|=||OQ|-OP||
A azul fica assinalado o lugar geométrico dos pontos soma: |OS|=|OP|+|OQ|


Pode sempre fazer variar as curvas e o ponto O, obtendo diversos lugares geométricos.
Pode deslocar o ponto P sobre a curva a e ver os pontos D e S a descrever os correspondentes lugares geométricos.

20.7.09

Conchóide de Nicomedes

Há uns anos atrás, para a trissecção de um ângulo com nêusis construí a conchóide de Nicomedes com recurso ao Cinderella





Aqui fica, agora feita com o Geogebra.

Na figura desta entrada, temos uma recta ( a horizontal azul) e um ponto O. As rectas (a verde) que passam por O cortam a azul em pontos P. Os pontos desta última recta que estão a igual a distância de P descrevem uma conchóide de Nicomedes, quando P percorre a recta azul.

19.7.09

A cissóide de Diocles e a parábola

Chamemos curva pedal de uma parábola ao lugar geométrico dos pontos de intersecção das suas tangentes com as suas perpendiculares tiradas pelo seu vértice. A curva pedal da parábola é uma cissóide de Diócles.





Como divertimento próprio da época, estamos a experimentar pequenas animações com o Geogebra.

14.7.09

Inversa da cissóide de Diócles



Cissóide e sua inversa



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção