A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

21.4.09

Triângulo de Morley e associados

Intersectando do modo indicado na construção trissectrizes de ângulos internos com trissectrizes de ângulos externos, obtêm-se, a partir do triâgulo de Morley, quatro outros triângulos equiláteros.




Polares trilineares dos vértices do triângulo de Morley

As polares trilineares dos vertices do triângulo de Morley relativo ao triângulo ABC formam um triângulo ApBpCp em perspectiva com o triângulo ABC


Triângulos em perspectiva - Morley e dos exincentos

O triângulo de Morley e triângulo dos exincentros estão em perspectiva.


11.4.09

Triângulos em perspectiva

Peter Iff provou que o triângulo ABC e o triângulo de Morley estão em perspectiva, como pode ver-se pela construção seguinte.



7.4.09

Triângulos de Morley e tangencial

O triângulo de Morley e triângulo tangencial (ver em: Ponto de Exter ) estão em perspectiva.



31.3.09

Mais triângulos

Mais alguns triângulos especiais:
Ao longo desta incursão pelo fascinante mundo dos triângulos, já referimos alguns triângulos especiais: triângulo pedal, triângulo mediano, triângulo tangencial, triângulo de Brocard, etc
Vamos referir mais alguns casos:


Triângulo de Morley


No triângulo ABC, dividamos cada um dos ângulos internos em três partes iguais. As intersecções das seis rectas, tomadas duas a duas, tal como se indica na construção, determinam três pontos. esses três pontos são os vértices de um triângulo equilátero, dito “Triângulo de Morley”.


24.3.09

Triângulos de Yff

Cada par de rectas perpendiculares tiradas pelo ponto de Yff às bissectrizes dos ângulos internos formam com cada lado um triângulo. Os três triângulos assim obtidos são equivalentes.


Incentro, Yff e um baricentro: recta de Euler

Seja A’ a primeira intersecção da bissectriz de A com o incírculo;
seja B’ a primeira intersecção da bissectriz de B com o incírculo;
seja C’ a primeira intersecção da bissectriz de C com o incírculo.
A recta definida pelos pontos I e Y contem o baricentro G’ e o ortocentro H´do triângulo A’B’C’, ou seja, é a recta de Euler deste triângulo.


PONTO de YFF

No triângulo ABC tracemos as bissectrizes dos ângulos internos e, em seguida, as bissectrizes dos três ângulos de vértice em I:
- seja A’ a intersecção da bissectriz de BIC com o lado BC;
- seja B’ a intersecção da bissectriz de AIC com o lado AC;
- seja C’ a intersecção da bissectriz de AIB com o lado AB.

As cevianas AA’, BB’, CC’ intersectam-se no ponto Y de Yff.



23.3.09

Ponto de Steiner, triângulo de Brocard, ponto de Lemoine

No triângulo ABC, tracemos o círculo de Brocard (diâmetro OLe). Determinemos o primeiro ponto de Brocard, Br1. As cevianas referentes a Br1 definem sobre o círculo de Brocard os vértices A’B’C’ do primeiro triângulo de Brocard. O ponto de Steiner de A’B’C’ é o ponto de Lemoine Le de ABC.
A verificação de que se trata do ponto de Steiner de A’B’C’ está feita com a intersecção do circuncírculo de A´B´C´com a circunferência definida pelos pontos A’’B’’C'’.



Etiquetas:

Ortologia, recta dos pontos isodinâmicos, ponto de Steiner

No triângulo ABC, determinemos os pontos isodinâmicos (isogonais dos pontos de Fermat; obtêm-se pela intersecção dos três círculos de Apolónio): W1, W2. Tracemos as simétricas da recta W1W2 relativamente às bissectrizes internas do triângulo ABC: a´, b’, c’. O triângulo A’B’C’ formado por estas três rectas é ortológico em relação a ABC. O primeiro centro de ortologia é o ponto de Steiner.



2014
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Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção