27.1.09

Os três pontos e as três rectas

Nas últimas entradas, andámos a ver rectas definidas inicialmente de um modo, podiam ser definidas e construídas de outro modo. Por exemplo, a recta de Lemoine apareceu definida como polar trilinear do ponto de Lemoine e como eixo radical de duas circunferências. Na construção de hoje, a tracejado castanho, fica sugerido (só?) que a recta de Lemoine também pode ser obtida (e definida?) como polar do ponto Le - ponto de Lemoine - relativamente ao circuncírculo.

Mas o que a construção de hoje quer tornar patente (dinamicamente falando) é que à colinearidade vermelha dos pontos Re, G e Le corresponde o facto das rectas pRe, eo e rLe se intersectarem num ponto vermelho. Como se esperava?






Estes trabalhos de pontos e rectas do triângulo foram acompanhados por Paulo Correia que se lembrou de nos dar a conhecer o trabalho notável (também de paciência!) da equipa de Humberto Bortolossi que fez construções dinâmicas de 1000 pontos notáveis (de cada vez) a mostrar-nos comportamentos das suas posições relativas para diferentes triângulos que nos deixam maravilhados. A primeira impressão que tive foi "isto é um vespeiro!". Obrigado, Paulo!

Chegados aqui, temos de dizer que do lado da persistência nas construções geométricas estão António Aurélio Fernandes e Mariana Sacchetti (que não deixam descansar os livros velhos e novos e tornam a vida de todos nós muito mais dinâmica!).

Etiquetas: ,

25.1.09

Polar trilinear do Retrocentro

No artigo Recíproco do Ortocentro , de 16 de Agosto de 2008, apresentávamos uma construção do retrocentro de um triãngulo. Sobre cada lado do triângulo tomávamos o seu ponto médio e, relativamente a ele, o simétrico do pé da altura. As cevianas - segmentos de cada vértice para esses simétricos dos pés das alturas - encontram-se no Retrocentro. No mesmo artigo, uma outra construção ilustrava, dinamicamente, que o Retrocentro é colinear com os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel.

Neste artigo de hoje, ilustra-se a construção (a verde e castanho) da polar trilinear do Retrocentro.





Pode verificar a estabilidade, deslocando os vértices do triângulo [ABC]

20.1.09

Eixo órtico como eixo radical

O eixo órtico do triângulo ABC é simultaneamente o eixo radical dos seus circuncírculo e círculo dos nove pontos.

A azul está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo dos nove pontos.
A verde está a construção do eixo órtico.




Eixo radical e recta de Lemoine

A recta de Lemoine é a polar trilinear do ponto de Lemoine (ponto em que as simedianas do triângulo se cruzam), mas é também o eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard, ambos na figura.

A vermelho está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo de Brocard.
A verde está a construção da polar trilinear do ponto, L, de Lemoine.




18.1.09

Do eixo antiórtico ao seu triângulo (II)

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico rao, a recta c que contém o lado AB e os vértices A e C.
Determine B.




15.1.09

Do eixo antiórtico ao seu triângulo

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico rao, a recta c que contém o lado AB, o vértice C e o pé TB da bissectriz do ângulo B no lado oposto.
Determine A e B.




6.1.09

Propriedade do eixo órtico

No triângulo ABC a retcta de Euler e o eixo órtico são perpendiculares. O ponto de intersecção das duas rectas é designado por X(468) no catálogo de Kimberley.



Etiquetas:

30.12.08

Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e PaPbPc os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HPa;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HPb;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HPc.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.





Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”



Etiquetas:

Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo órtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.





Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

Etiquetas:

Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



Etiquetas: ,

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção