A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

20.1.09

Eixo órtico como eixo radical

O eixo órtico do triângulo ABC é simultaneamente o eixo radical dos seus circuncírculo e círculo dos nove pontos.

A azul está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo dos nove pontos.
A verde está a construção do eixo órtico.




Eixo radical e recta de Lemoine

A recta de Lemoine é a polar trilinear do ponto de Lemoine (ponto em que as simedianas do triângulo se cruzam), mas é também o eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard, ambos na figura.

A vermelho está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo de Brocard.
A verde está a construção da polar trilinear do ponto, L, de Lemoine.




18.1.09

Do eixo antiórtico ao seu triângulo (II)

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico rao, a recta c que contém o lado AB e os vértices A e C.
Determine B.




15.1.09

Do eixo antiórtico ao seu triângulo

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico rao, a recta c que contém o lado AB, o vértice C e o pé TB da bissectriz do ângulo B no lado oposto.
Determine A e B.




6.1.09

Propriedade do eixo órtico

No triângulo ABC a retcta de Euler e o eixo órtico são perpendiculares. O ponto de intersecção das duas rectas é designado por X(468) no catálogo de Kimberley.



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30.12.08

Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e PaPbPc os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HPa;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HPb;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HPc.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.





Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”



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Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo órtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.





Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

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Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



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22.12.08

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



tro.

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Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



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2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção