6.1.09

Propriedade do eixo órtico

No triângulo ABC a retcta de Euler e o eixo órtico são perpendiculares. O ponto de intersecção das duas rectas é designado por X(468) no catálogo de Kimberley.



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30.12.08

Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e PaPbPc os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HPa;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HPb;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HPc.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.





Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”



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Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo órtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.





Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

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Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



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22.12.08

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



tro.

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Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



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16.12.08

Propriedade da recta de Gergonne

Dado um triângulo ABC, e consideremos os dois triângulos EaEbEc dos exincentros e MaMbMc dos pontos médios dos lados. Existe uma homologia que transforma um no outro, cujo eixo é a recta de Gergonne.




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Recta de Gergonne

No triângulo ABC, Ge é o seu ponto de Gergonne. Se determinarmos a sua polar trilinear, obtemos a “recta de Gergonne”.



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9.12.08

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo EaEbEc dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A*B*C*. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A*B*C* é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A*B*C* é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



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2014
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Instrumentos e métodos

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