Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.

Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.

Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo EaEbEc dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A*B*C*. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A*B*C* é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A*B*C* é o ponto de Bevan do triângulo ABC.

Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.

Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.