A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

1.10.08

Ponto isogonal do ponto do infinito de uma recta

Determinar o ponto, R, isogonal do ponto do infinito da recta r relativamente ao triângulo ABC.
As isogonais das rectas paraleltas a r tiradas pelos vértice A, B e C, têm um ponto comum, R, que é o isogonal do ponto do infinito de r.

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26.9.08

Triângulos inversamente semelhantes

Dado o triângulo ABC, sejam V1 e V2 os seus pontos de Fermat e W1 e W2 os pontos isodinâmicos. Os triângulos [V1V2W1] e [V1V2W2] são inversamente semelhantes. De facto, são iguais os ângulos <)V1V2W2 = <)W1V1V2, etc


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Pontos Isodinâmicos e de Napoleão

Recordemos que para obter os pontos isogónicos (ou de Fermat), W1 e W2, construímos triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo ABC exteriormente (interiormente) e unimos o ápice de cada um com o vértice oposto. Para obter os pontos de Napoleão, Np1 e Np2, unimos os centros dos triângulos externos (internos) com os vértices opostos.




Verifica-se que:
- as rectas W1Np1 e W2Np2 se intersectam no ortocentro H;
as rectas W1Np2 e W2Np1 se intersectam no ponto médio do segmento definido pelo circuncentro O e pelo centro do círculo de nove pontos N.

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23.9.08

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

  • os simétricos de A relativamente a BC (A2), de B relativamente a AC (B2) e de C relativamente a AB (C2);

  • os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A1, B1 e C1 ou internamente A1*, B1* e C1*



As rectas A1A2, B1B2 e C1C2 encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A1*A2, B1*B2 e C1*C2 encontram-se no outro.



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17.9.08

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

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Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.

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9.9.08

Mais propriedades do ponto isodinâmico

Cada ponto isodinâmico forma com os três vértices do triângulo [ABC] um quadrângulo isodinâmico: é constante o produto dos comprimentos dos lados opostos.



O transformado por inversão do triângulo [ABC] em relação a um dos seus pontos isodinâmicos é um triângulo equilátero.



Dado um triângulo ABC e a sua circunferência circunscrita, tomemos para centro de uma projecção um dos pontos W isodinâmicos do triângulo. Nesta projecção, os vértices do triângulo ao serem projectados sobre o circuncírculo dão vértices de um triângulo equilátero.

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PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Aplónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.

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2014
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