3.7.08

A afinidade generaliza Napoleão.

Generalização do Teorema de Napoleão
Será que os baricentros de n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre cada um dos lados de um dado n-ágono formam por sua vez um outro nágono regular?

Teorema de Thébault
Thébault demonstrou que para um paralelogramo os baricentros dos quadrados construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados formam sempre um outro quadrado .

Ora, o triângulo e o paralelogramo são exemplos de polígonos regulares afins, isto é, polígonos que são sempre imagem por uma transformação afim de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente.

Teorema de Barlotti
Em 1955, Barlotti, demonstrou que: Dado um n-ágono qualquer, se este for imagem por uma transformação afim de um n-ágono regular, então o n-ágono formado pelos baricentros dos n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados é um n-ágono regular





É interessante mover o ponto A’ mudando a direcção da afinidade e observar quando A’,B’,C’ e D’ são colineares ou quando estes coincidem dois a dois.

2.7.08

Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.




[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima. Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.

1.7.08

Napoleão?

Seja D um ponto no arco BC de centro X e E um ponto no arco AC de centro Y de tal forma que [DE] passa por C.
Então EA e DB intersectam-se num ponto F sobre o arco AB de centro Z e o triângulo [DEF] é equilátero.



Etiquetas:

30.6.08

Napoleão revisitado


  1. Os centros dos triângulos [TUV] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, coincidem com o centro do triângulo inicial [ABC].

  2. A diferença entre as áreas dos triângulos[TUV] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, é igual à área do triângulo inicial[ABC].



Na construção que se segue, pode sempre movimentar os pontos A, B e C e confirmar estas propriedades.


23.6.08

Teorema de Napoleão

Se tomarmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros desses triângulos equiláteros são vértices de um triângulo equilátero.

Na construção dinâmica que se segue, construíram-se triângulos equiláteros [BCD], [ACE] e [ABF]. O triângulo [GHI] é equilátero.
Do mesmo modo, é equilátero o triângulo [XYZ] em que X é o centro de [BCT], Y é o centro [ACU] e Z é o centro de [ABV]-





Pode movimentar A, B ou C e ver como a propriedade persiste. Tem interesse ver o que acontece quando A, B e C ficam alinhados ou quando dois destes pontos coincidem.

11.6.08

A animação das tangentes à parábola

Publicámos recentemente dois artigos Tangentes a cónicas - caso da elipse e da hipérbole e Tangentes a cónicas - caso da parábola em que procurávamos dar conta dos esforços da Mariana Sacchetti para mostrar como o processo da determinação das tangentes tiradas por um ponto P à circunferência passa para a determinação das tangentes às outras cónicas. Se animação para os casos das tangentes à elipse e à hipérbole tinham sido conseguidas, já o mesmo não podíamos dizer do caso da parábola.
Esta falta de animação com a parábola é suprida pela publicação da animação apresentada pela Mariana. Aqui fica ela.




Veja-se que, num momento inicial, há uma circunferência (a verde) de centro F1 =O =F2 e raio |OV| e estão traçadas as tangentes à circunferência tiradas por P, que passam por P e pela intersecção da circunferência inicial com a circunferência de diâmetro |PF1| =|OP|, no momento inicial. Depois pode ver-se como O e F2 se vão deslocando, enquanto F1 se mantém fixo. Quando F2 se desloca para o infinito, também o centro O se desloca para infinito por ser o ponto médio de [F1F2] e a circunferência centrada em O e raio |OV| tende para ser a tangente à parábola no seu vértice. Assim, temos a construção conhecida: as tangentes à parábola tiradas por P passam pela intersecção desta recta em que o círculo principal se transforma com a circunferência de diâmetro [PF1].
Já agora, podemos ver também como a circunferência (a azul) de centro em F2 e raio 2.|OV| tende para a directriz à medida que F2 tende para infinito. Esta circunferência corresponde ao círculo director ou focal da elipse e da hipérbole.

10.6.08

o terceiro vértice

Triângulos isósceles com um vértice fixo e outro a variar sobre uma recta, têm o terceiro vértice sobre uma parábola (de foco no vértice fixo e directriz na recta onde desliza o segundo). Como é óbvio. Publicamos a animação.



a área que não muda

Com a devida vénia, aqui publicampliamos o desafio geométrico do José Paulo Viana (Público do último domingo).



Parece que o Eduardo tem razão. (A caricatura da Cristina também:-) Como podem ver, apoiados na construção dinâmica que se segue e em que pode variar A ou D fazendo variar a inclinação dos lados não paralelos. O triângulo amarelo tem área 8, constante, 1/4 do trapézio. Porque será?


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção