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22.1.08

Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O1 e O2 e de raios r1=|AH|/2 e r2=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O1 é necessário que tenha um raio r tal que |O1P|=|O1T|+|TP|=r1+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O1P|=r1+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O1P|=R+r1, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O1 e eixo maior R+r1 (ou |AO2|=2R-r2=R+r1, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r1+2r2=2R, de onde se tira que R=r1+ r2, R+r1=2r1+ r2=|AO2|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.

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