22.1.08

Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O1 e O2 e de raios r1=|AH|/2 e r2=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O1 é necessário que tenha um raio r tal que |O1P|=|O1T|+|TP|=r1+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O1P|=r1+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O1P|=R+r1, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O1 e eixo maior R+r1 (ou |AO2|=2R-r2=R+r1, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r1+2r2=2R, de onde se tira que R=r1+ r2, R+r1=2r1+ r2=|AO2|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.

19.1.08

Arbelos: a cadeia de Papus

Durante algum tempo, a Mariana ficou presa nas animações da cadeia de Papus e da beleza que elas produzem. A última animação que nos enviou foi a que juntamos nesta entrada.
A Mariana obteve um novo efeito ao juntar para cada umas das circunferências de anteriores animações (tangentes externamente a uma das pequenas e internamente à grande circunferência do arbelos) a outra circunferência concêntrica tangente externamente à mais pequena.
O lugar geométrico dos centros destas circunferências é uma elipse. E António Aurélio não se cansa de referir o interesse de mostrar a prova deste resultado neste lugar geométrico.
Quer experimentar antes de o fazermos?

9.1.08

Pitágoras

Há não muito tempo apresentámos diversas decomposições e recomposições (com triângulos e rectângulos).
No âmbito da Escola de Educação Complementar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, apareceram algumas propostas de trabalho em que se propunha fazer uma moldura considerando uma determinada decomposição de um quadrado. Como resultado, obtinha-se um novo quadrado. Sempre nos pareceu que ali estaria uma nova demonstração para o Teorema de Pitágoras. Assim confirmámos em pequenas incursões exploratórias. Despertou-nos especial curiosidade, o trabalho de Herman Vogel, da Universidade Técnica de Munique, que apresenta vários exemplos de construções interactivas, cada uma delas recorrendo aos diversos programas (software) de geometria dinâmica europeus. Recomendamos esse trabalho a quem quiser comparar as potencialidades dos diversos programas - Cinderella, CaR (ZuL), Geogebra, Cabri, Euklid-DynaGeo e GeoNExT




Mesmo contando com ajudas (que agradecemos), para nós, não foi nada fácil a realização desta animação. Aqui fica. Esperamos que gostem e seja útil.

7.1.08

Cadeia de Pappus

Continuemos então com as tangências e a tentar dar respostas construtivas às dúvidas que nos têm sido postas. Agradecemos ao André Filipe Oliveira as dúvidas e interrogações que nos obrigam a verificar que construções sabemos fazer e quais são possíveis com a régua e compasso do ZuL ou do CaR.metal. O que formos descobrindo, aqui publicamos. Se subsistirem dúvidas, não hesitem em contactar-nos.


Ora aqui ficam definições e resultados da Cadeia de Pappus acompanhados das respectivas construções interactivas:

Dadas duas circunferências de centros F1 e F2, chama-se “cadeia de Pappus” ao conjunto das circunferências tangentes simultaneamente às circunferências dadas. Demonstra-se que o conjunto dos centros das circunferências de Pappus define uma elipse de focos F1 e F2 e eixo maior [AB].



Consideremos um raio vector que intersecta o círculo maior em P e o círculo menor em Q. As paralelas aos eixos por P e Q determinam um ponto X da elipse, centro de uma circunferência de Pappus. Pode deslocar o ponto P.




Num arbelo, a cadeia de Pappus inicia-se com o círculo tangente às três semicircunferências.


2.1.08

Bom 2008



Aurélio Fernandes acha que o melhor mesmo é publicar uma ideia da construção que fomos fazendo sobre círculos gémeos de Arquimedes (sobre arbelos), enquanto tentamos compreender um problema-pedido que nos vão explicitando devagar. Veremos.

25.12.07

Quadratura

Neste lugar geométrico, já abordámos o problema de transformar certas figuras em quadrado com a mesma área. A Miscelánea Matemática (Sociedad Matematica Mexicana), no seu número 24, de Setembro de 1996, propunha o problema da entrada anterior (que já vimos proposto em outras publicações) e propunha também quadraturas do rectângulo de dimensões 9 e 6. Como exemplo, apresentava a quadratura que se segue, pedindo uma outra.

Quer tentar a outra?
Estes exercícios têm um grande interesse básico, não só pelo que significam de geométrico, mas também pelo que podem significar de conceitos operatórios e de propriedades das operações. Alguns jovens a frequentar o 10º ano de escolaridade mostraram desconhecer o que significa quadrado perfeito quando pedíamos que verificassem a possibilidade de preencher um quadrado de 6 por 6 com peças de tetraminós ou de pentaminós.

24.12.07

De um só golpe, cortar dois quadrados em partes iguais

Com uma só recta, cortar os dois quadrados da figura em duas partes equivalentes e de tal modo que cada um dos quadrados fica dividido em duas parte geometricamente iguais.
Atenção! Neste exercício interactivo, o alvo não fica visível.



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Prenda de Natal: Cortar bolos. Faça você mesmo!

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção