11.10.07

Cortar um cubo

Não temos tido grandes resultados nas tentativas para as representações no plano de objectos tridimensionais. Quer nos desenhos que nos são devolvidos pelos estudantes, e mesmo na publicação de exercícios que recorrem a polígonos. Acontecem-nos mensagens de erro mesmo em exercícios simples como o que apresentamos a seguir. Começamos por tentar trabalhar com uma construção como a que se segue.

E recebemos de volta sucessivas mensagens de erro.

Com cubos nas mãos, os estudantes do 10º ano procuram determinar em que condições um plano determina secções triangulares, quadrangulares, etc. As peças desenhadas durante esse trabalho mostram-nos as dificuldades em obter desenhos esclarecedores e por isso não é de estranhar que apareça a máquina fotográfica digital para registar uma ou outra vitória.
Agora, tomemos um cubo representado, como mostra a nossa figura, que possibilita acompanhar os raciocínios construtivos na base dos axiomas e teoremas simples da geometria euclideana. Propomos a determinação da secção obtida quando o cubo é cortado pelo plano M, N e P. E recomendamos a cada estudante que mencione cada passo da resolução, justificando-o.

O exercício acabou numa representação como a que se segue e que ainda não está livre de mensagem de erro num ou outro computador.

5.10.07

Inacessibilidades 3

Em busca do circuncentro.



De um triângulo [ABC] com um vértice inacessível, onde está o centro da circunferência que passa pelos três vértices A, B e C?



E se dois vértices inacessíveis, como determinar o circuncentro? Aurélio Fernandes afirma ser possível. Tente no quadro seguinte onde os vértice inacessíveis são mesmo inacessíveis (não são?).

1.10.07

Inacessibilidades 2

EM BUSCA DE UMA BISSECTRIZ


Procurar a bisssectriz de um ângulo de duas semirectas com origem no mesmo ponto (o vértice) que está inacessível é um problema interessante.



Para assegurar a inacessibilidade com o método de construção de pontos cujas coordenadas não dependem do sistema de eixos, mas só da sua posição na janela de visualização, as construções apresentadas não assumem a forma de exercício. Com o método de Monique Gironce sobre as invenções de Eric Hakenholz não conseguimos manter essa inacessibilidade contra o zoom (do Régua e compasso: + ou - no teclado)

Inacessibilidades 1

EM BUSCA DA OUTRA MEDIANA

Dada a mediana tirada por A de um triângulo [ABC] do qual o vértice C é inacessível, será possível determinar as outras medianas? No quadro em baixo, esperamos que determine o segmento BMb - mediana tirada por B




Problemas como este, postos aos alunos em anos após terem abordado o conceito de mediana e as suas propriedades, permitem verificar se foram adquiridas por alguma memória persistente essas noções. Só assim se confirma o que fica sabido sobre o baricentro, por exemplo.



Agradecemos o quadro do exercício a R. Grothmann e a Eric Hakenholz.
A ideia do exercício deve agradecer-se a Puig Adam e ao seu monumental tratado de Geometria Métrica, acarinhado por Aurélio Fernandes aqui na escola. A Monique Gironce agradecemos a ideia e a forma de o construir com CaR.metal.

25.9.07

Teorema de Feuerbach

Puig Adam refere a demonstração do teorema de Feuerbach como exemplo de aplicação da inversão. Aqui deixamos, com a devida vénia, a página 61 do Curso de Geometria Métrica:

23.9.07

Circunferência tangente a outras duas

Traçar por um ponto P uma circunferência tangente a outras duas c1 e c2 que não passam por P.

Sugestão de Puig Adam: Aplicando a c1 e c2 uma inversão de centro P, estas circunferências transformam-se em outras (pode ecolher-se a inversão de modo que se conserve uma delas, ou as duas caso P seja ponto do eixo radical de ambas). A circunferência procurada transforma-se numa das rectas tangentes a ambas; bastará pois achar a tangente comum e transformá-la pela mesma inversão.

De modo análogo, se resolve o problema de determinar a circunferência que passa por P e que faz um dado ângulo com outras duas.

[Puig Adam. Curso de Geometria Metrica, Tomo I, pg 160]

19.9.07

Conservação de ângulos na inversão

Na construção abaixo em que pode deslocar os pontos A,V e B, considera-se o ângulo AVB (das semirectas VA e VB). Os transformados dos lados do ângulo ( que não cortam a circunferência) são duas circunferências. O ângulo transformado de AVB pela inversão relativa à circunferência (a negro) é o ângulo de vértice V' (inverso de V) e cujos lados são as tangentes em V' às circunferências transformadas dos lados do ângulo AV e BV. Como se pode verificar, este ângulo assim definido é igual ao ângulo AVB. As cores dos lados dos ângulos ( e das circunferências inversas de AV e VB) revelam que são de sentido inverso os ãngulos cuja amplitude se mantém por inversão - tal como acontece na simetria. Assim tinha de ser. Não é?

17.9.07

Do pólo e polar à circunferência

Usando a inversão, o pólo, a polar e separação harmónica,... determinar uma circunferência a partir do seu ponto A e a polar p do ponto P relativamente a ela.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção