Oitavo despertar

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1. Se tivermos I, Ia e a recta AB, construímos o trapézio rectângulo cujos lados paralelos são r e ra e a altura o segmento [TiTia]; o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio do segmento cujos extremos são Ta (pé da bissectriz do ângulo A no lado [BC]) e a sua projecção sobre AB.



2. Construamos o rectângulo cuja base é o segmento [TiTia] e a altura é igual a r+ra. O ponto L de intersecção das diagonais é centro de uma circunferência (a verde) que contém B, C e Ia.

3. O ponto L pertence à circunferência (a azul) circunscrita ao triângulo [ABC].

4. O ponto L é centro de uma circunferência (a vermelho) que passa pelos pontos de tangência do círculo inscrito com os lados b, c.

Pentágono de Alcácer

Recebemos uma carta de Paulo Correia de Alcácer do Sal que defende uma construção do pentágono regular de que se conhece a diagonal. Aqui fica a sua carta e a ilustração retirada da construção que nos enviou:

Olá viva...
Estava a olhar pela (vossa) geometria - blog e geometriagon - e vi um problema interessante: construção de um pentágono regular de que se conhece uma diagonal.

Fiz a construção no exercício interactivo e fiquei a pensar se seria a mesma em que pensaram, como o problema 550 do geometriagon é parecido, e aí a minha resolução é diferente da vossa, cheguei à conclusão que também no problema do blog "chego lá" por outro caminho, pelo que envio a minha resolução.



Trata-se de construir sobre o prolongamento da diagonal dada um segmento segundo a razão de ouro (a vermelho na minha construção).
Esse segmento tem a medida do lado do pentágono, pelo que transportando essa medida para os dois vértices conhecidos encontramos outro vértice (a azul na minha construção).
Como a circunferência de raio igual à diagonal e centro no outro vértice também contém outro vértice (as diagonais do pentágono têm todas o mesmo comprimento) o transporte da medida do lado intersecta esta circunferência noutro vértice...
O número de ouro é uma grande ajuda...
Um abraço
Paulo Correia

Agradecemos as contribuições de Paulo Correia, aqui e no Geometriagon. Bom exemplo.


Já agora! A nossa construção publicada em fins de Outubro foi inspirada num problema que aparentemente não teria coisa alguma a ver com o número de ouro .-), mais ou menos isto: determinar a base de um triângulo isósceles de que se conhece o lado e em que os ângulos da base são o dobro do ângulo oposto à base.