11.12.06

quando uma recta encontra uma parábola

Releia o artigo anterior e procure pensar no seguinte problema de construção com régua e compasso:

Dada uma recta r, o foco F e a directriz d de uma parábola, determine os pontos de intersecção dessa recta r com a parábola definida por F e d.

10.12.06

Quando uma recta intersecta a cónica

Os programas de geometria dinâmica permitem-nos determinar cónicas como lugares geométricos de vários modos. Sempre com algumas limitações. Em alguns casos, as cónicas podem aparecer definidas por alguns dos seus pontos. Um problema interessante consiste em determinar pontos que pertençam a uma cónica definida por alguns elementos.
António Aurélio Fernandes propõe, com este pequeno artigo, abordar a
determinação dos pontos de intersecção de uma cónica com uma recta.


Seja a cónica definida pelo foco F, pela directriz d e pela excentricidade e. Determinar o(s) ponto(s) em que a recta intersecta a cónica.
Sabemos que, numa cónica, é constante a razão das distâncias de qualquer seu ponto P ao foco e à directriz, sendo a constante igual à excentricidade e. Nesta propriedade se baseia a construção que vamos apresentar.


Tomemos um ponto qualquer N sobre r e tiremos a perpendicular a d; seja Q o pé da perpendicular. Tracemos a circunferência de centro N e raio |NQ|.e. Seja R um dos pontos de intersecção de circunferência com a recta FS (S é a intersecção de d e r). Por F tiremos uma paralela à recta NR: a intersecção dessa recta com r e´o ponto P da cónica.
De igual modo se obtinha o outro ponto de intersecção, caso existisse.

A cónica poderá ser definida por um dado que não seja a excentricidade. Seja, por exemplo, dado o centro O ou comprimento do semi-eixo maior. Nesses casos é necessário começar por determinar a excentricidade, caso se trate de uma elipse ou uma hipérbole: e = c/a.

Claro que nos problemas que são propostos só aparecem os elementos definidores das cónicas

6.12.06

Geometria a compasso

Há muito muito tempo, Mara Cardoso enviou-nos algumas ideias de construção, comentários a outras construções e um pequeno documento a que dava o nome de 'Geometria a Compasso'. Para além de a termos introduzido numa viagem sobre os compassos (a propósito de um comentário seu sobre a divisão de um circunferência em arcos iguais) nada mais fizemos sobre o seu texto, além da promessa de o utilizarmos em artigos sobre a construção com compasso. O tempo foi-se e ainda não arranjámos tempo para comentar e utilizar o trabalho de Mara Cardoso. Para não atrasar mais, deixamo-nos de cautelas e demoras e disponibilisamos o texto da Mara Cardoso para quem o quiser ver e sobre ele se pronunciar. Para descarregar o texto de Mara Cardoso, basta clicar sobre


GEOMETRIA A COMPASSO
ou sobre a ilustração retirada do trabalho de Mara Cardoso


5.12.06

Dois triângulos para reconstruir

Aqui deixamos mais dois exercícios interactivos:


Determinar os vértices A, B, C de um triângulo de que são dados o centro Ib do círculo ex-inscrito no ângulo B, o pé Sc da bissectriz externa do ângulo C e o ponto Tia de tangência do círculo ex-inscrito no ângulo A com a recta AB.



Determinar os vértices de um triângulo [ABC] de que se conhecem o centro I do círculo inscrito, o centro Ic do círculo ex-inscrito em C e o centro Oe do círculo definido pelos três ex-incentros (Ia, Ib, Ic).

28.11.06

Oitavo despertar

Mais resultados da Mariana:

1. Se tivermos I, Ia e a recta AB, construímos o trapézio rectângulo cujos lados paralelos são r e ra e a altura o segmento [TiTia]; o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio do segmento cujos extremos são Ta (pé da bissectriz do ângulo A no lado [BC]) e a sua projecção sobre AB.



2. Construamos o rectângulo cuja base é o segmento [TiTia] e a altura é igual a r+ra. O ponto L de intersecção das diagonais é centro de uma circunferência (a verde) que contém B, C e Ia.

3. O ponto L pertence à circunferência (a azul) circunscrita ao triângulo [ABC].

4. O ponto L é centro de uma circunferência (a vermelho) que passa pelos pontos de tangência do círculo inscrito com os lados b, c.

27.11.06

Pentágono de Alcácer

Recebemos uma carta de Paulo Correia de Alcácer do Sal que defende uma construção do pentágono regular de que se conhece a diagonal. Aqui fica a sua carta e a ilustração retirada da construção que nos enviou:

Olá viva...
Estava a olhar pela (vossa) geometria - blog e geometriagon - e vi um problema interessante: construção de um pentágono regular de que se conhece uma diagonal.

Fiz a construção no exercício interactivo e fiquei a pensar se seria a mesma em que pensaram, como o problema 550 do geometriagon é parecido, e aí a minha resolução é diferente da vossa, cheguei à conclusão que também no problema do blog "chego lá" por outro caminho, pelo que envio a minha resolução.



Trata-se de construir sobre o prolongamento da diagonal dada um segmento segundo a razão de ouro (a vermelho na minha construção).
Esse segmento tem a medida do lado do pentágono, pelo que transportando essa medida para os dois vértices conhecidos encontramos outro vértice (a azul na minha construção).
Como a circunferência de raio igual à diagonal e centro no outro vértice também contém outro vértice (as diagonais do pentágono têm todas o mesmo comprimento) o transporte da medida do lado intersecta esta circunferência noutro vértice...
O número de ouro é uma grande ajuda...
Um abraço
Paulo Correia


Agradecemos as contribuições de Paulo Correia, aqui e no Geometriagon. Bom exemplo.


Já agora! A nossa construção publicada em fins de Outubro foi inspirada num problema que aparentemente não teria coisa alguma a ver com o número de ouro .-), mais ou menos isto: determinar a base de um triângulo isósceles de que se conhece o lado e em que os ângulos da base são o dobro do ângulo oposto à base.

14.11.06

Triângulos de sempre!

Para ocupar o tempo dos geómetras e aplicar alguns dos resultados já publicados por aqui, propomos um novo problema de construção de triângulos.
Determinar os vértices de um triângulo [ABC] de que se conhecem o centro I do círculo inscrito, o centro Ia do círculo ex-inscrito em A e o centro Oe do círculo definido pelos três ex-incentros (Ia, Ib, Ic).
Aqui apresentamos o respectivo exercício interactivo. Basta clicar sobre o enunciado.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção