8.5.06

Triângulo de perímetro mínimo.

No interior do ângulo  Â  toma-se um ponto P. Por P passa uma infinidade de rectas que cortam os lados do ângulo  Â. Cada uma dessas rectas tirada por P define um triângulo. Vasculhemos o mundo desses triângulos, até encontrarmos o de perímetro mínimo.


Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração
.

Triângulo equilátero num quadrado.

No Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, que foi publicado pela Gradiva em 1998, há muitas propostas de trabalho (teoremas mais ou menos clássicos - demonstrações e construções; e demonstrações que sugerem construções com régua e compasso) que podem ser transformadas em belos exercícios interactivos. Aqui deixamos uma sugestão de exercício interactivo:

Sobre os lados de um quadrado [ABC], determinar os vértices Y e Z de um triângulo [XYZ] equilátero, do qual é dado o vértice X em [AB]


Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração
.

4.5.06

Trapézios circunscritíveis

No último número da "Educação e Matemática", José Paulo Viana propôs o problema - Uma circunferência no trapézio - com o seguinte enunciado:

Uma circunferência é tangente aos quatro lados de um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem 4 e 16 cm. Qual é a medida do raio da circunferência? Investigação suplementar para os mais entusiastas: Que aconteceria se o trapézio não fosse isósceles?



E, no rasto dessa proposta, Mariana Sacchetti propôs ao Geometriagon um problema de construção de trapézio circunscritível.
A primeira pergunta que nos vem à cabeça tem a ver com as qualidades que um polígono, neste caso um quadrilátero, deve ter para merecer que haja uma circunferência tangente a todos os seus lados. O Aurélio não deixou de garantir imediatamente que trapézio que não seja isósceles não é trapézio que possa ser circunscritível. Será assim? O problema proposto pela Mariana e que aqui fica também como exercício interactivo é da construção de um trapézio isósceles e da circunferência nele inscrita a partir de uma das bases do trapézio e do comprimento da outra.

Esta pequena discussão trouxe-me à memória um artigo que tinha lido em tempos e que voltei a procurar: "Circumscribable Quadrilaterals: A Journey in Honors Geometry. Charles Worrall. Mathematics Teacher (NCTM) October 2004, Volume 98, Issue 3, Page 192". Tinha gostado muito da introdução que começava de uma forma inspiradora: If we want to inspire a young writer to be a poet, we do not start with a grammar book. Instead, inspiration and love literature come from reading complex works of art like Hamlet or Catcher in the Rye. Promoting a similar idea, Einstein wrote "the misterious... is the source of true art and science" (Ulam 1976, p. 289). To be more specific, one way to develope urgency and curiosity in mathematics students is to encourage them to wrestle with complex mathematical objects, ones whose dep and misterious realationschips are waiting to be found


Tinha gostado muito das primeiras palavras e foram elas em primeiro lugar que me vieram à memória. Mas não resisto a acrescentar aqui o primeiro problema posto por Worrall nesse artigo:

Se um quadrilátero tem três lados consecutivos a medir 12, 15 e 17 unidades e circunscreve um círculo, quanto mede o seu quarto lado?



Coloquei este problema aos alunos do 9º ano. O que é que nele é difícil? O mais óbvio.... depois de saber. Como sempre, aliás.

3.5.06

Monsky e a divisão do quadrado em triângulos

A referência do artigo de P. Monsky sobre a divisão do quadrado em triângulos equivalentes é:

On dividing a square into triangles, Amer. Math. Monthly, Vol. 77 No. 2, Feb. 1970, pp. 161-164.

Nas "Tardes de Matemática 2003-2004", promovidas pela Delegação Regional do Centro da Sociedade Portuguesa de Matemática, há referência a uma conferência de Alfredo da Costa (da Universidade de Coimbra) sobre este tema. Era apresentada assim:
Título:
Dissecação de polígonos em triângulos com áreas iguais
Resumo:
É fácil dividir uma quadrado em dois triângulos com áreas iguais, para tal bastando a sua bissecção por uma das diagonais. De um modo geral, podemos dividir um quadrado num qualquer número par 2n de triângulos com áreas iguais: dividimos uma das diagonais em n segmentos de igual comprimento e depois unimos as extremidades desses segmentos às extremidades da outra diagonal. Surge assim naturalmente a seguinte questão: é possível dividir um quadrado num número ímpar de triângulos com áreas iguais? Este problema foi resolvido em 1970 por Paul Monsky. Nesta palestra vamos apresentar a abordagem de Monsky. A partir dela, faremos depois uma digressão sobre o problema da dissecação em triângulos da áreas iguais de outros polígonos além do quadrado.

27.4.06

Do Brasil: um problema e um livro português

Do Brasil, João Linneu escreveu para nos dizer:

Gostaria de encontrar a solução do problema:
"Dividir um quadrado em três triângulos equivalentes"
Sei que em 1970 a questão foi solucionada por Paul Monsky (...).


Ao mesmo tempo, pedia-nos ajuda para encontrar o livro "Fundamentos da Geometria" de José Joaquim Dionísio. Nós não conhecíamos o livro e não encontrámos referência em pesquisa bibliográficas pela BN.
Luís Sanchez e José Francisco Rodrigues, do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências de Lisboa, deram-nos notícia do livro que, afinal, foi publicado recentemente pelo Departamento.
Lá iremos ao livro. E obrigado a todos.

Nota de memória: Isto fez-me lembrar os apontamentos manuscritos do curso de Geometria que, regressado recentemente do Brasil, José Morgado preparou para a Delegação Regional do Norte da SPM (então renascida). Ainda me lembro de enviar os apontamentos pelo correio, para lá dos montes, quando os professores não podiam deslocar-se à Faculdade de Ciências do Porto para assistir a essas sessões.

20.4.06

Triângulos rectângulos

Aqui deixamos a lista dos exercícios interactivos sobre triângulos rectângulos que, um dia destes, serão colocados em linha, nesta linha de produção. Nada obsta a que, desde já, se tentem resolver em papel, com lápis, régua e compasso.

  • Construir um triângulo rectângulo de que se conhece um cateto e a altura (relativa à hipotenusa)


  • Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a hipotenusa e a altura respectiva.


  • Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a altura relativa à hipotenusa e a mediana relativa ao vértice do ângulo recto.


  • Construir um triângulo rectângulo de que se conhece a altura relativa à hipotenusa e o raio da circunferência inscrita.


  • Construir um triângulo rectângulo [ABC]de que se conhece a hipotenusa [AB] e a mediana relativa ao vértice B.


  • Construir um triângulo rectângulo de que se conhece um ângulo agudo e a soma dos comprimentos dos seus lados.


  • Construir um triângulo rectângulo conhecendo a hipotenusa e a diferença dos comprimentos dos catetos.
  • 18.4.06

    Triângulo rectângulo - um caso particular

    Pode ser que ainda se lembrem da sugestão da entrada imediatamente antes desta para construção de um triângulo rectângulo.
    Para aceder a um exercício interactivo relativo a
    A partir do vértice do ângulo recto, determinar um triângulo rectângulo [ABC] de que se conhece só o raio da circunferência inscrita. bastará clicar sobre este seu enunciado.

    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção