A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

11.4.06

3 circunferências tangentes - I I

No artigo Memórias de Aurélio foi recordada uma velha proposta que tinha sido esquecida neste lugar geométrico: Construir três circunferências tangentes duas a duas. Colocámos já há uns dias, como exercício interactivo em Cinderella, o problema da construção das três circunferências dados os seus raios. Agora estamos a propor o exercício interactivo, sobre Zirkel und Lineal - ReC, da construção de três circunferências tangentes duas a duas de que se conhecem os seus centros.
Para aceder a este novo exercício interactivo, clique aqui. Resolva(-se)!

Neste e noutros exercícios, efectuados sobre ReC, a solução pretendida está patente como indicação em cor de rosa. O trabalho consiste em realizar a construção com os instrumentos disponíveis na barra superior. até que o computador reconheça, em mensagem própria, que o processo seguido conduziu ao resultado esperado.

Claro que agradecemos que comentem e, se possível por e-mail, nos façam chegar os resultados dos esforços, bem como eventuais críticas e sugestões sobre estes exercícios.

5.4.06

O despertar dos geómetras - MEDIANAS

O Geometriagon veio mostrar que há muitas pessoas interessadas (e mesmo viciadas) em resolver problemas de construção geométrica. Acontece que a formação do ensino elementar em Portugal não aborda (ou aborda de forma deficiente) conceitos, definições e propriedades relativas a relações entre elementos. À medida que as dúvidas sobre triângulos foram aparecendo, conduzimos os estudantes (e outros) para as lições do Puig Adam que publicamos em tempos, com animações a ilustrar definições e propriedades.
Vamos debruçar-nos, de novo e de outro modo, sobre algumas das propriedades dos elementos dos triângulos, propondo o estudo de exercícios que com elas se relacionam.

MEDIANAS BELEZAS?


Começamos pelas propriedades das 3 medianas de um triângulo [ABC] que unem cada vértice (A, B ou C) ao ponto médio (Ma, Mb ou Mc) do respectivo lado oposto (BC, AC ou AB).
As três medianas passam por um mesmo ponto G, a que se chama baricentro (ou centro de gravidade. vértice comum de três triângulos equivalentes - de igual área - [BGC], [AGC] e [AGB]).
O ponto G é tal que |AG|=2|GMa|, |AG|=2|AMa|/3. E, evidentemente, se tirarmos por um vértice (A) uma recta a passar pelo ponto médio de uma mediana, ela vai dividir o lado oposto (BC) em dois segmentos na razão de 1 para 2. Paralelas a dois lados tiradas por G dividem o 3º lado em 3 partes iguais.
Lembramos que MaMb é paralela a AB, MbMc//BC e MaMc//AC.



Carregando nesta ilustração das propriedades das medianas
de um triângulo tem acesso a um exercício interactivo
de construção de um triângulo a partir de um lado e
de duas das suas medianas. Não quer tentar?



Não será interessante provar todas aquelas propriedades?
Já agora vale a pena lembrar que a divisão de um segmento em três partes iguais proposta por Afonso Graça (e que tanto nos intrigou) é afinal uma aplicação das propriedades das medianas de um triângulo. Não é?

1.4.06

3 circunferências tangentes - I


Não recebemos propostas. Sabemos que a época é má. Aqui deixamos um exercício interactivo de construção de 3 circunferências tangentes de que são dados os raios. Toca a tentar.

Para aceder ao exercício interactivo, clique aqui.

20.3.06

O tri(rect)ângulo

Um problema de construção pode ser afinal outro, outro em vez dele, outro como ele dito de modo diferente. Ninguém se aproximou ainda do problema que reside em construir um triângulo rectângulo do qual se conhecem os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Li que esse problema é equivalente ao da construção de um triângulo rectângulo do qual se conhecem a hipotenusa e a soma dos catetos.
Porquê?

15.3.06

O que é que queremos saber?

Cada um quer saber coisas diferentes quando constrói e quando olha para uma construção. Todos aprendemos alguma coisa mesmo quando não queremos. Temos a ideia que seguir os passos de uma construção e compreender tudo e todas as razões é bom para desenvolver uma competência fundamental - pelo menos essa, a de raciocinar dedutivamente. Inicialmente, publicámos mesmo alguns exercícios que exigiam (e dependiam d) a escrita das explicações. E publicámos as demonstrações. Depois deixámo-nos disso. Mas acolhemos os escritos das pessoas que sentiram necessidade de explicar as suas opções. Isso é melhor.

Sobre o método geral do artigo anterior, a Rosa Amélia, do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, quer saber qual a matemática, qual o pensamento matemático que levou ao (ou justificou o) processo para poder discutir porque é que funciona rigorosamente para uns casos e é só aproximado para outros.

Estamos nessa.

14.3.06

Divisão em 7

Ainda não tinha acabado de escrever a pergunta como é que se divide, com régua e compasso, a semicircunferência em sete partes iguais e já o nosso Paulo Correia (de Alcácer do Sal) nos escrevia:

Ora viva...
A divisão de uma semi-circunferência em 7 partes iguais (conforme o anexo):

Sobre um extremo do diâmetro traça-se uma recta, e sobre essa recta, sete comprimentos iguais.
Traça-se o segmento de recta que une o 7º comprimento ao outro extremo do diâmetro e a paralela a este segmento (que divide o diâmetro em 7).
Depois, a intersecção das circunferências de raio igual ao diâmetro centradas nos extremos do diâmetro, e a recta que contem esse ponto e o 1/7b do diâmetro.
Essa recta intersecta a semi-circunferência inicial na divisão pertendida.

Aprendi isto na disciplina de Educação Visual há muito tempo atrás - foi útil agora.
Em Geométricas > Construções > Polígononos Regulares > Heptágono está uma variação deste procedimento para a construção de um heptógono regular inscrito numa circunferência, por um prof. de EVT.

Um abraço,
Paulo Correia


A página que o Paulo refere é do Tiago Carvalho, professor de uma vizinha escola em Ílhavo. Recomendamos vivamente a visita ao Tiago que apresenta construções geométricas animadas, passo a passo, em flash.

E aqui fica a ilustração da construção proposta pelo Paulo:






Já há muito tínhamos começado a discutir estas construções em   o problema com sete lados, ainda antes do início deste bloGeometria e com a ajuda do André Moreira, um outro professor de Educação Visual, a trabalhar numa vizinha escola de Bustos. Ainda não discutimos o rigor destas construções e nem sequer publicámos então a proposta de construção do André que serviu para o heptágono com que ilustrámos o problema com sete lados. Não perde por esperar.

13.3.06

Memórias de Aurélio

De vez em quando, Aurélio Fernandes vem lembrar-nos das propostas passadas que não passaram de propostas. Ele diz que ninguém tentou apresentar uma construção das 3 cirunferências tangentes (duas a duas) centradas em 3 pontos dados. Nem nós que nos ficámos pelas circunferências centradas nos vértices de um triângulo equilátero. Mais geral ainda, o que se propôs foi a construção de três circunferências diferentes tangentes duas a duas. Sem resposta. Até agora. Ficamoa à espera uns dias de uma resposta. Aqui fica uma nota de memória de Aurélio.

Mais propostas com triângulos e circunferências:
(1)Construir três circunferências tangentes entre si e aos lados de um triângulo equilátero.
(2)Construir seis circunferências tangentes entre si e aos lados de um triângulo equilátero.

A construção geral

Apareceram afinal mais estudantes a apresentar a construção cheia de graça do octógono regular (dado o lado), por exemplo, o J. Vieira. E, pelo que nos disseram, estamos perante um processo geral (ensinado em Educação Visual e Desenho) para construção de polígonos regulares a partir do lado. E podemos deslocar o nosso olhar para a matemática do processo. Quer desenhar um heptágono? Divida aquela semicircunferência em sete partes iguais e... O problema será: E como é que se divide (com régua e compasso) uma semicircunferência em sete partes iguais?




2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção