10.2.06

De Alcácer, também

Nos últimos tempos, pode parecer que a acitvidade deste lugar geométrico abrandou. Não é assim. Temos várias propostas relativas ao pentágono e construção (razoável) de figuras equivalentes a círculos e nenhuma relativa às cordas, só para falar dos mais recentes. É claro que temos andado geometricamente ocupados a tornar possível o Combate Geométrico em português e a experimentar a participação de alunos da Escola José Estêvão.

Transcrevemos em parte uma mensagem de Paulo Correia, professor de Matemática em Alcácer do Sal e responsável da página Matemática? Absolutamente!, que recomendamos. A sua proposta de construção (construção maravilhosa e que não conhecíamos) confunde-se (nos fundamentos) com a proposta de J. Vieira publicada.



Ora viva...
Sou um leitor atento do blog, para o qual ñão tinha ainda contribuido por falta de pertinência.
Sobre a construção de um pentágono, dado o lado, imaginei uma construção que não encontrei no vosso blog (nem na internet) e que julgo que possa trazer valor acrescentado, razão pela qual a decidi enviar
(...)
A ideia principal, é a de que num pentagrama inscrito no pentágono, os segmentos do pentagrama estão para os lados do pentágono na proporção de ouro (phi). Assim:
1º - sobre o lado dado, contrói-se um rectângulo de ouro
2º - do rectângulo, cria-se um triângulo de ouro - intersectando as circuferências de centro nos extremos do segmento dado e raio igual ao lado maior do rectângulo.
3º - Já está... o ponto encontrado é o 3º vértice do pentágono.
4º - Com a intersecção de umas circunferências encontram-se os dois vértices em falta.

Espero que aprecie a ideia - eu achei-lhe uma certa piada. Aguardo o seu comentário.
(...)



Obrigado Paulo.

Experiências com trapézios


Em Agosto de 2005, no artigo Voar no trapézio dava-se conta de uma construção solução para o desafio - Construir um trapézio de que se conhecem as duas bases e as duas diagonais - discutindo anteriores exercícios também publicados. Recentemente, com as experiências feitas para aprender a fazer exercícios interactivos com o Régua e Compasso - Zirkel und Lineal, voltámos a esse exercício e temos de reconhecer que a solução então encontrada é extremamente complicada. Garantimos que há soluções mais elegantes e propomos que procure solução mais simples que a da figura (que aqui publicamos para avivar a memória e lembrar a nossa deselegância). Clicando sobre essa ilustração tem acesso ao exercício interactivo em ReC onde pode tentar a sua solução.

Construção de um trapézio (dadas as bases e diagonais).

Dsiponibilizamos também o outro exercício interactivo que realizámos com o ReC, em que pode tentar construir o trapézio de que são dados os comprimentos dos seus quatro lados .

3.2.06

Pentágono a compasso

A 8 de Janeiro, há quase um mês, a Mariana enviou a construção do pentágono regular só com compasso ( a divisão de uma circunferência em 5 arcos iguais). Mais ninguém apareceu com a construção e, por isso, aqui fica a ilustração da construção Mariana.

Escreveu ela:
Em relação ao pentágono mantive as letras da figura publicada e acho que não me vão pedir os passos um a um, ou vão? (olhem bem para a figura primeiro)
Mas para já é assim:
-a azul - a construção do simétrico de P e os restantes vértices do hexágono
- a amarelo - construção do vértice A do pentágono (bissecção do arco PP')
-a verde alface - a construção de M (ponto médio)
- a laranja -a construção de Q
- a verde escuro - os restantes vértices do pentágono
e, vejam bem, não é uma obra de arte? Querem os passos de cada etapa?

Bebemos as cores, embebecidos. Pois.
E depois?

29.1.06

Pentágono pelo lado (3)

Mais uma construção feita em ReC - Régua e Compasso - Zirkel und Lineal de René Grothmann. para treinar. Se quiser e puder pode criticar e sugerir alterações.


O lado dado é [AB]. Comecemos por desenhar as circunferências sobre as quais estarão os dois vértices contíguos a A e a B - centradas em A e em B e de raio |AB|. Tomamos os pontos de intersecção destas circunferências que definem a mediatriz de AB onde se encontrará o vértice oposto a AB. Tracemos a circunferência centrada em Z que passa por A e B. Os pontos X e Y simétricos relativamente à mediatriz de AB permitem determinar os vértices C e E. D vem óbvio.

Para ver a construção dinâmica basta clicar sobre a ilustração. Pode experimentar movimentar A e B.


Pentágono regular pelo lado (2)

A solução para a construção do pentágono de que se conhecia o lado que tanto Arsélio como Aurélio tinham na cabeça utilizava a construção clássica de um pentágono inscrito seguida de uma homotetia de centro no centro da circunferência. Aqui fica a construção respectiva feita em ReC - Régua e Compasso - Zirkel und Lineal de René Grothmann. utilizada no projecto Geometriagon, de G. Artico, que adaptamos para português.
Pode manipular a construção a partir de alguns dos seus pontos como habitualmente.



Para ver a construção dinâmica basta clicar sobre a ilustração.

15.1.06

Nas cordas

Aurélio Fernandes insistiu em apresentar como desafio, no seguimento de anterior, a determinação de uma recta r que corte duas circunferências C1 e C2 dadas segundo cordas de que são dados os comprimentos c1 e c2, respectivamente.

Figuras equivalentes

Já por aqui apresentámos exercícios de equivalência de figuras, a saber: fizemos a quadratura (?) de um rectângulo qualquer e a determinação de um triângulo com a mesma área de um polígono qualquer, e não sei se mais alguma equivalência. Estou agora a propor que se estude a construção (só razoável?)
de um triângulo equivalente a um círculo dado;
de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado;
de um círculo equivalente a um triângulo dado;
de um círculo equivalente a uma coroa circular dada.

Do lado do pentágono regular

A verdade é que, quando coloquei a questão da construção de um pentágono regular de que se conhece o lado, não esperava que houvesse uma resposta como aquela que deu João Miguel Guerra Vieira (aluno da turma C do 11º ano na Escola José Estêvão).



Depois de ter justificado a divisão em cinco partes iguais feita a uma circunferência e com base nessa compreensão, João Miguel Vieira propôe a construção que aqui ilustramos. Tomou |AB|=5. Determinou M: |AM|=|MB| e L: ALM é triângulo rectângulo e |AL|=|AB|. Com centro em M e raio |ML| determinamos K. |AK| = 5.(1+raíz de 5)/2 (5x número de ouro) = diagonal do pentágono de lado 5 (|AC|=|BE|=|AD|=|BD|). Circunferências de raio |AK| centrados em A e B determinam D. Como intersecção da circunferência centrada em A e de raio |AB| com a circunferência centrada em B e raio |AK|, determinamos E. de modo análogo, determinamos C. É uma boa ideia.

E é claro que a construção de J. Vieira mostra que não é preciso conhecer o círculo circunscrito ao pentágono regular para a sua construção a partir do lado dado. Também se perguntava isso. A resposta não tardou.


Para quem se interessar pelo trabalho de João Miguel a respeito de pentágonos, aqui deixamos as 4 páginas manuscritas que nos ajudaram a perceber melhor e de outra forma o problema que tínhamos proposto. Podem ser descarregadas em páginas separadas no formato (.pdf): página 1; página 2; página 3; página 4.

Damos os parabéns ao João Miguel. E agradecemos à Mariana que nos trouxe e apresentou o João Miguel (como já nos tinha apresentado Afonso Graça).

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção