Afinidade: eixos de simetria da elipse afim de uma circunferência

Na construção que se segue, determinamos duas cónicas afins por uma afinidade de eixo e de que é dado um par (O, O') de pontos correspondentes e a circunferência centrada num deles.
E sugerimos um processo elementar para determinar os eixos de simetria da elipse:
Os eixos de simetria da elipse são perpendiculares a passar pelo centro da elipse correspondentes a certos diâmetros da circunferência.
Tomado um diâmetro da circunferência intersetamo-lo com o eixo da afinidade. Por esse ponto de interseção tomamos uma reta a passar por O' e assim temos o diâmetro correspondente na elipse.
Assim para os eixos de simetria, basta tomar uma circunferência a passar por O e O' e com centro e diâmetro sobre o eixo de afinidade. Cada uma das meias circunferências separadas pelo eixo da afinidade circunscrevem ângulos retos cujos lados intersetam o eixo nos extremos do diâmetro da circunferência. Os lados dos ângulos retos centrados em O e O' intersetam-se sobre o eixo de afinidade. E assim temos os eixos de simetria da elipse e seus homólogos na circunferência (qualquer diâmetro da circunferência é seu eixo de simetria, mas só dois deles são correspondentes dos eixos da simetria da elipse homológica)

" Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos O e O' na figura.

A figura ilustra bem que qualquer par de tangentes paralelas da circunferência são perpendiculares nos extremos de uma corda que é a polar do ponto do infinito qe elas representam. Claro que, no caso da circunferência, essas cordas são diâmetros que têm todos um ponto em comum, polo da reta do infinito e centro da circunferência.
Como vimos, para as homologias que não eram afinidades, dadas uma circunferência e uma hipérbole homológicas, o centro da hipérbole era homóloga do ponto C de interseção das tangentes à circunferência em pontos homólogos de pontos impróprios (L₁ e L₂ na reta limite, C era o polo de L₁L₂ ). No caso da afinidade, os homólogos de pontos impróprios são pontos impróprios e as polares de pontos impróprios são os diâmetros a passar pelo centro. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade.
Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim. Cada diâmetro paralelo a duas tangentes paralelas contém o ponto impróprio que é o polo do diâmetro perpendicular a ele e é por isso que diâmetros perpendiculares da circunferência são conjugados (por cada um deles conter o polo do outro)
Na figura fica claro que há pares de diâmetros conjugados que por afinidade correspondem a diâmetros conjugados da elipse. Mas há um só par de diâmetros da circunferência que tem por correspondentes os eixos de simetria da elipse afim.

Afinidade: propriedades.

A construção seguinte servirá como ilustração de algumas propriedades da afinidade homológica.

1. Em duas figuras afins, a todo o ponto impróprio de uma delas corresponde outro ponto impróprio na outra.
   Chamemos 1_∞ ao ponto impróprio da reta AB corresponde um ponto 1' de A'B' na figura.
   A reta que passa por estes pontos 1_∞1' terá a direção da afinidade, isto é, terá de passar por O_∞.
   1_∞O_∞ será a reta imprópria do plano e a sua interseção com A'B' será 1'. Fica assim demonstrado que 1' é um ponto da reta impróprio de A'B', ou seja, é o ponto impróprio da reta A'B'.
2. É assim óbvio que se duas retas AB e CD são paralelas (no caso, passam por 1_∞) as suas homólogas por uma afinidade A'B' e C'D' também são paralelas (no caso, passam por 1').
   Dito de outro modo, a afinidade preserva o paralelismo (qualquer afinidade transforma retas paralelas em retas paralelas) e, por isso, a figura afim de um paralelogramo é outro paralelogramo.
   Por afinidade, um trapézio é transformado noutro trapézio, como é óbvio.




Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar pontos da figura, o eixo e a direção da afinidade. Podia e agora não pode.

3. Uma afinidade transforma a reta imprópria do plano em si mesma. Dito de outro modo, a reta imprópria é dupla para qualquer afinidade que é o mesmo que dizer que para a afinidade plana não há retas limite.
4. Como consequência, se sabe que uma figura plana com n pontos impróprios é transformada noutra com n pontos impróprios. Uma elipse (sem pontos impróprios) é afim de uma elipse, uma parábola é afim de uma parábola, uma hipérbole é afim de uma hipérbole.
5. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade
6. Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim.