Circunferência e sua homológica: eixos de simetria da elipse

Nas últimas entradas, temos vindo a determinar elipses homológicas de uma dada circunferência para homologias definidas pelo seu centro O, eixo e e reta limite l. Para o fazer temos determinado

1. o polo P da reta limite na polaridade induzida pela circunferência que se transforma pela homologia no centro P' da elipse homológica;
2. para determinar esse polo da reta l, temos tomado dois dos pontos desta - L₁ e L₂ - tais que a polar de cada um deles interseta a circunferência nos pontos de tangência das tangentes tiradas pelo outro, de modo a obtermos um quadrilátero circunscrito de diagonais a intersetar-se em P (polo de l); no caso: a polar de L₁ é AB que passa por L₂ e a polar de L₂ é CD que passa por L₁ e, por isso, AB e CD são conjugados já que AB contém o polo de CD e CD contém o polo de AB ;
3. as homólogas de AL₁ e BL₁ são retas paralelas (já que o homólogo de L₁ é um ponto impróprio) entre si e paralelas a C'D' que é homóloga de CD também a passar por L₁; do mesmo modo são paralelas as homólogas de CL₂ e de DL₂ e A'B';
4. assim o quadrilátero circunscrito à circunferência tem por homólogo um paralelogramo (a negro) de centro P' e o par de retas A'B' e C'D' são diâmetros (passam pelo centro), conjugadas porque cada uma delas contém o polo da outra (pontos impróprios de OL₂ e de OL₁, respetivamente).

Mas nessas construções anteriores, os diâmetros conjugados determinados não eram eixos de simetria da elipse. Nesta construção, trataremos de determinar diâmetros conjugados perpendiculares, isto é, determinar os eixos de simetria da elipse e o retângulo circunscrito à elipse.
Como os diâmetros têm as direções de OL₁ e de OL₂, se quisermos obter os eixos de simetria da elipse devemos tomar os pontos de tal forma que L₁OL₂ seja um triângulo retângulo em O, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro L₁L₂ que passa por O.
Para determinar a circunferência de centro em O com diâmetro sobre l, determinamos o seu centro N sobre l e a mediatriz de uma sua corda que passe por O. O outro extremo da corda O₁ pode ser determinado sobre OK e a perpendicular da tangente à circunferência de centro K tirada por O no seu ponto de tangência T. Desta maneira, obtemos uma circunferência (a tracejado) de centro N que passa por O, interseta l em L₁ e L₂ e tal que a polar de N pela polaridade induzida pela circunferência de centro K é a mesma que a polar de K pela polaridade induzida pela circunferência de centro N que passa por O, o que garante que dois pontos diametralmente opostos de uma delas são conjugados pela polaridade induzida pela outra. No caso, fica garantido que os pontos L₁ e L₂ são conjugados um do outro relativamente à circunferência de centro K de que a elipse será homológica.

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Nesta construção, A'B' e C'D' são, além de diâmetros conjugados, eixos de simetria da elipse.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferências ortogonais: notas marginais para poder continuar

Considere-se a construção que se segue (parte esquerda) em que se têm duas circunferências, c₁ (verde) de centro O₁ e c₂ (cinza) de centro O₂. A polar ST (vermelha) de O₁ pela polaridade induzida por c₂ é a polar de O₂ pela polaridade induzida por c₁. Sempre que se verificam estas relações entre duas circunferências, dizemos que elas se cortam ortogonalmente ou são ortogonais.

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Na parte esquerda da construção, temos as duas circunferências e temos desenhadas as tangentes a c₂ tiradas por O₁ e as tangentes a c₁ tiradas por O₂. Lembremos noções, propriedades e resultados estudados na geometria elementar euclidiana:

1. Da circunferência c₁, O₁T=O₁S=r₁, O₁ST é isósceles. Do mesmo modo, O₂ST é isósceles. O₁O₂ e ST, diagonais do papagaio (deltóide), são mediatrizes uma da outra. O₁O₂ e ST são perpendiculares (ortogonais, normais)
2. Cada tangente à circunferência é perpendicular ao raio (reta que passa pelo centro da circunferência e pelo seu ponto de tangência). E, em consequência: O₁TO₂ = O₂TO₁ é um reto. Fica assim esclarecido a designação de ortogonais para as circunferências: O₁T O₂T é normal a O₁T.
3. Na construção acima, ainda fica ilustrado o facto de o diâmetro de uma de duas circunferências ortogonais ser cortado pelas duas circunferências em pares de pontos separados harmonicamente: o diâmetro CD de c₂ corta c₁ em {Å, B}: (A,B;C, D)=-1 (confirmado pelo quadrilátero, cor violeta na construção). Reciprocamente, se uma circunferência passa pelos pontos A, B conjugados harmónicos de outros C, D, então ela é ortogonal à circunferência de diâmetro CD.
   

Na parte direita da construção temos uma circunferência de centro O e P e Q conjugados relativamente a ela. Tendo em atenção as anteriores propriedades, poderá verificar que:

1. Se P e Q são conjugados relativamente a uma circunferência de centro O, a circunferência de diâmetro PQ (centro O') é ortogonal à circunferência de centro O.
   Se Q é conjugado de P pela polaridade induzida pela circunferência de centro O, então Q está sobre a polar p de P. Como PO é uma reta que contém um diâmetro da circunferência de centro O é perpendicular à polar p de P. Se chamarmos A à interseção de p com PO, a circunferência de diâmetro PQ passa por A. Chamando B e C às interseções de PO com a circunferência de centro em O, sabemos que P e A separam harmonicamente os pontos B e C, por A estar sobre a polar de P e a circunferência de centro O' (diâmetro PQ) é ortogonal à circunferência de centro O.
2. E, reciprocamente, Se duas circunferências (de centros O e O') são ortogonais, pontos P e Q diametralmente opostos de uma delas são conjugados relativamente à polaridade induzida pela outra.
   Tracemos um diâmetro PQ da circunferência de centro O' e unamos P com O, centro da outra. Por serem ortogonais, o quaterno (PABC) é harmónico e, em consequência, A pertence à polar p de P relativamente à circunferência de centro O e como PAQ é retângulo em A (já que PQ é um diâmetro), QA é perpendicular a PO e passa por A, logo p=AQ é a polar de P e, por isso, Q é conjugado de P relativamente à polaridade induzida pela circunferência de centro O.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980