Da cónica para a polaridade associada

Na entrada anterior, tomámos a polaridade (ABC)(Pp) em que P incide em p. P é um ponto da cónica associada sendo p a tangente à cónica em P. Outros três pontos da cónica Q, R e S ficaram determinadas como conjugados harmónicos de P sobre as secantes CP (relativamente a C e CP.c), BP (relativamente a B e BP.b), AP (relativamente a A e AP.a).
A_p=AP.a, B_p=BP.b e C_p=CP.c são pontos de p, polar de P, conjugados de P. Aliás todos os pontos da reta p (tangente em P) são conjugados de P. Determinados os pontos Q, R e S deste modo a partir de (ABC)(Pp), a construção sugere que A=RQ.PS, B=PR.QS e C=PQ.RS ou que o triângulo auto-polar ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS.
O último parágrafo da entrada anterior sugere que se se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar.
O lugar geométrico dos pontos autoconjugados de uma polaridade (hiperbólica) é uma cónica.
Será que se tivermos quatro pontos de uma cónica P, Q, R, S , o seu triângulo diagonal ABC é um triângulo auto-polar?
A construção seguinte ilustra isso mesmo

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Os pontos diagonais são as intersecções dos lados opostos do quadrângulo: A=PS.QR, B=PR.QS e C=RS.PQ. Tomemos ainda os pontos de intersecção com o lado AB do triângulo diagonal oposto ao vértice C, a saber: E=AB.RS e F=AB.PQ
Sabemos das relações harmónicas H(AB,EF), H(PQ,CF) ou H(RS,CE) e, em consequência, ficamos a saber que C é conjugado de E e também conjugado de F, ou seja, C é polo de AB=c, seu lado oposto. De modo análogo, ficaremos a saber que B é polo de AC e A é polo de BC.
É auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica.
Sabíamos que, sendo P∈p, a polaridade (ABC)(Pp) determina uma cónica.
Esta construção ilustra bem que uma cónica induz uma polaridade e mostra como ela se determina. Serve também para sugerir um método construtivo para determinar a polar de um qualquer ponto C que não seja ponto da cónica.
Já agora, pode reparar que
Um ponto interior, no caso C, tem uma polar que não interseta a cónica (é não secante). A polar de um ponto exterior, A por exemplo, interseta a cónica (é secante). A polar de um ponto da cónica, P por exemplo, passa por um só ponto da cónica (é tangente).

Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado

Na entrada anterior, fixámos uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
Essa polaridade com pontos auto-conjugados pode ser bem descrita por (ABC)(Pp), em que P incide em p (P é auto-conjugado e p é auto-conjugada) e ABC é um triângulo auto-polar (i.e., as polares de A é a=BC, de B é b=AC e de C é c=AB). O problema agora é construir um triângulo auto-polar, uma reta p e sobre ela o seu polo P que fique associada a uma cónica. Para isso, retomamos a construção da entrada Polaridade a partir de um triângulo auto-polar, publicada a 26 de Maio de 2012, em que provámos que uma correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade. Na construção, que apresentamos a seguir, consideramos a correlação ABCP → abcp, em que a, b, c, são os lados opostos respetivamente a A, B, C e p é uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo, sendo P um ponto de p. O ponto P e a reta p correspondente, determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo ABC, a saber: P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é a polaridade (ABC)(Pp), sendo P o polo de p. P é um ponto de p, auto-conjugado.
Já sabemos que sobre p não há outros pontos autoconjugados, mas também sabemos que em cada reta tirada por P, que não seja p, há um e só um ponto conjugado de P e auto-conjugado na polaridade. Sobre cada uma das retas da figura que passam por P, determinamos os conjugados harmónicos de P: S relativamente a A e P_a, R relativamente a B e P_b, Q relativamente a C e P_c. P, Q, R e S são pontos auto-conjugados para a polaridade (ABC)(Pp), em que p é uma reta auto-conjugada.
A cónica associada passa por P, Q, R, S e p só tem um ponto autoconjugado que é P.

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Pode realizar esta construção e verificar que, nas condições da construção, A está nas retas RQ e PS, B e, S são vértices de um quadrângulo completo cujo triângulo diagonal é ABC. Para ilustrar estes factos, traçámos após todo o trabalho da construção, na figura as retas QS, RQ e RS.