Multiplicação

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Na construção que se segue, tomamos os ponto 0, 1, x e y sobre uma reta. Tomamos depois um ponto P não incidente em 01 e por ele tiramos uma paralela a 01. Sobre esta, tomamos um ponto R. Sendo Q_x = 0P.xR, podemos definir S=1Q_x.PR.
E sendo Q_y=0P.Sy, o ponto correspondente a xy é RQ_y.01.
De facto, o feixe de centro Q_x corta as paralelas 01 (em 0,1,x) e PR (em R, S, P), sendo PS/01(=RS/1x)=PR/0x e, consequentemente, 0x=PR/PS. E o feixe centrado em Q_y corta as paralelas 01 (em 0, y, xy) e PR (em P, R, S), sendo PS/0y(=RS/y(xy))=PR/0(xy) e, consequentemente, 0(xy)=(PR/PS).0y. Conclui-se pois que 0(xy)=0x.0y

Nestas considerações e na construção que as apoia, confundimos pontos com números associados (a que chamámos abcissas). Por exemplo, 0,1 e x representam pontos e também as suas abcissas: 1 pode ser lido como a distância entre os pontos 0 e 1 e, com abuso de linguagem, escrevemos 01=1, do mesmo modo x é a abcissa do ponto x que é a distância de 0 a x representada por 0x. Quando se escreve 0(xy)=xy, (xy) é um ponto de abcissa xy. [A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞. [A.A.M.]

Adição

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Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Q_x = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Q_y, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQ_y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).
Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z_∞.



[A.A.M.]