Adição

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Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Q_x = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Q_y, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQ_y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).
Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z_∞.



[A.A.M.]

Pontual de abcissas inteiras.

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Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um quadrilátero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos sem passar por qualquer dos seus vértices.Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos ponto 1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.
A construção que se segue, ilustra bem um processo de von Staudt para obter pontos correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.
Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome-se um ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q₁ com a reta paralela a 01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ₁ com 01.
O processo repete-se.
Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z_∞, marcado na figura que se segue.