Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transforma A em A' e B em B' pode ser obtida como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas polaridades. Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o quadrângulo OJLA em OJLA'.


[A.A.M.]
Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C em C').
Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l'p→OJLA' ou seja a composta transforma OJLA em OJLA'. Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p) transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

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É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser estendido para a elação em que O incide sobre o.
Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é sempre um produto de duas polaridades.

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e a correlação que transforma B em b=DE, C em c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.
Esta correlação projetiva que transforma cada vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma polaridade desde que transforme a em A, a saber (FBE)(Aa).
Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos restantes lados. Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.