Teorema de Chasles

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Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta em A, preservando a incidência.
Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).
É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são projetividades.

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Chasles demonstrou que se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos.
Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.
[A.A.M.] Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam-se: A₁=a.a', B₁=b.b' e C₁=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só considerando a incidência preservada. Por exemplo, como C₁=c.c'=AB.c', a polar de C₁ é (a'.b')C=r.
Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C₁APB em AC₁BP e, pela polaridade, AC₁BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma em A₁CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).
Como a projetividade C₁APB → A₁CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C₁AP→A₁CR é uma perspetividade. O centro da perspetividade B₁ = AC.PR e, por isso, A₁C₁ incide em B₁. Fica assim provado que A₁, B₁ e C₁ são colineares.
Isto não funciona se A₁ ou B incidirem em b'.

Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

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Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP_c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P_a=a.AP, P_b=b.BP e P_c=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos X_a=a.AX, X_b=b.BX, X_c=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos A_p=a.p, B_p=b.p e C_p=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos A_x=a.x, B_x=b.x e C_x=c.x, pelas projetividades (BC)(P_aA_p), (AC)(P_bB_p) e (AB)(P_cC_p) aplicadas respetivamente a X_a, X_b e X_c. Determinamos x=A_xB_x.
[A.A.M.] A construção apresenta a determinação de dois deles, B_x e A_x, descrevendo a construção de B_x.
Pela projetividade (AC)(B_pP_b), determinar B_x como transformada de X_b :
a) A projetividade (AC)(B_pP_b) é tal que A→C →A e B_p→P_b→B_p que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B_pR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B_pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta B_pR em Z. ACB_pP_b →^QZRB_pW→^AQTP_bW→^RCAP_bB_p
b) Para determinar B_x como imagem de X_b por (AC)(B_pP_b), sobre a construção desta tomamos a reta X_bT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B_x. Chamamos E a CG.RA e a X_bT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (P_bB_p)(X_bB_x).
Para isso, traçamos a reta X_bW que interseta RP_b em F e RB_x em Y e tomamos o ponto RB_x.P_bW=P₀
P_bB_pX_bB_x →^WP₀RYB_x →^P_bWFYX_b →^RB_pP_bB_xX_b
Do mesmo modo, se procedeu para determinar A_x e se procederia para verificar que (X_aA_x)(P_aA_p).
A polar de X é assim obtida x=A_xB_x.

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Pode deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.