Teorema de Desargues e recíproco

Na entrada anterior e nesta, apresentamos uma construção dinâmica em que partimos de um feixe por O e de dois triângulos ABC e DEF em que cada um dos vértices está sobre uma reta do feixe e de tal modo que A→D, B→E e C→F, isto é AD∩BE∩CF={O}, isto é ABC é O-perspetivo DEF. Observámos que os pares de lados correspondentes (AB, DE) ou (c,f), (AC,DF) ou (b, e), (BC, EF) ou (a, d) se intersetam respetivamente nos pontos R, Q e P que são colineares ou pertencem todos à reta o, que é o mesmo que dizer que os triângulo abc e def são o-perspetivos. Os programas de geometria dinâmica podem verificar que o ponto R está sobre a reta PQ, assim como podem verificar que CF incide sobre o ponto de interseção de AD com BE.



De certo modo, podemos verificar que "Dados dois triângulos e uma correspondência biunívoca pela qual qual os pares de vértices correspondentes definem três retas que incidem num mesmo ponto O, então os pares de lados correspondentes pela mesma correspondência intersetam-se em pontos de uma mesma reta o", ou dito de outro modo, "Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então são perspetivos por uma mesma reta. Este resultado, conhecido por Teorema de Desargues, pode ser demonstrado, mas, mesmo para pares de triângulos do mesmo plano, precisa de um axioma novo e de usar um ponto exterior ao plano. Optamos, por isso e como fazem muitos autores, para o nosso estudo de geometria plana, tomar o chamado teorema de Desargues como um axioma.

Podemos demonstrar o recíproco (dual) do terorema de Desargues, a saber: Se dois triângulos são perspetivos por uma reta o, então são perspetivos por um ponto O. Tome-se da figura em que a.d=P, b.e=Q e d.f=R são pontos de o. E provamos, em consequência disso e do teor de Desargues, que as retas (a.b, d.e) ou CF, (a.c, d.f) ou BE, (b.c, e.f) ou AD se intersetam num ponto.
Recorremos aos triângulos ADQ e BEP. Estes triângulos são R-perspetivos, já que AB∩DE=DE∩QP=AB∩QP={R}. O teorema de Desargues aplicado a estes triângulos ADQ e BEP que são perspetivos por R, garante que AD∩BE={O}, AQ∩BP={C} e DQ∩EP={F} são colineares. Fica demonstrado que a reta CF passa por O, interseção de AD com BE.

Triângulos perspetivos

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos se estiverem relacionados por uma perspetividade. Esta noção pode ser ampliada para quasiquer duas figuras planas envolvendo mais do que um ponto ou mais que uma reta. Dois espécimes de uma figura dizem-se perspectivos se os os seus pontos podem ser relacionados por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de pontos corrrespondentes (ou homólogos) definem retas concorrentes ou se as suas retas podem ser relacionadas por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de retas correspondentes (ou homólogas) se intersetam em pontos colineares.
Considere os dois triângulos ABC e DEF da figura (BC=a, AC=b, AB=c; EF=d, DF=e, DE=f). E repare que AD.BE.CF=O e a.d,b.e, c.f estão sobre a reta o.

Assim os dois triângulos ABC e DEF da figura que se segue são perspetivos, quer porque A→D, B→E e C→F pela perspetividade relativa ao ponto O (as retas AD, BE e CF concorrem num só ponto O), ou porque a→d, b→e, c→f pela perspetividade relativa à reta o.

A O chamaremos centro e eixo a o.