Problema usando reflexões

O problema resolvido na entrada anterior é muito intersssante. Aparece associado a múltiplos contextos e para ser abordado e resolvido usando ferramentas diversas. Torna-se ainda mais interessante se virmos que o mesmo raciocínio envolvendo reflexões permite resolver outros problemas. Por exemplo,

De entre todos os triângulos com um dada base e altura a ela relativa, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
Na ilustração que se segue pode tomar várias bases e alturas e procurar, para cada par(base,altura) o triângulo de perímetro mínimo.



De facto, este problema é equivalente ao da entrada anterior, já que, fixada a base a altura, andamos à procura do caminho mais curto a partir de um vértice da base e até ao outro, passando por uma recta paralela à base e dela distanciada a altura dada.

Problemas usando reflexões -1-

Os deslocamentos (isometrias) de que temos vindo a falar podem ser utilizados em muitos problemas. Um exemplo clássico:
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?

Na ilustração dinâmica seguinte pode mover X sobre a recta r e conjecturar o mínimo que procura. A solução (usando reflexão em relação a r) pode ser vista clicando no botão apropriado.





Tomemos o deslocamento de um dos pontos, por exemplo, Q para Q', por reflexão em relação a r. A recta r é mediatriz do segmento QQ' e, por isso, sabemos que |QN|=|Q'N| e que, como a distância de Q a r é igual à distância de Q' a r, podemos afirmar que |PQ'| (segmento de recta) é a distância mínima procurada. N fica determinado pela intersecção de PQ' com r.

Muitos problemas semelhantes a este podem ser resolvidos com recurso a reflexões que mantêm invariantes as distâncias nos deslocamentos que por via delas se realizem.

Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?