Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_{b e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p}

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


[AAF]