Que homologia faz corresponder um losango a um quadrilátero qualquer ?

Como determinar uma homologia que transforme um quadrilátero qualquer num losango?
A construção que se apresenta abaixo ilustra a resposta a essa pergunta.

Seja dado o quadrilátero ABCD. Já vimos que para que a figura homóloga de ABCD, A'B'C'D' seja um paralelogramo, há uma reta limite definida por L₁=AB.CD e L₂=AD.BC a que corresponderão, respetivamente, os pontos impróprios A'B'.C'D' e A'D'.B'C'
O centro O da homologia não pode ser qualquer ponto do plano, porque o losango é um paralelogramo de diagonais perpendiculares. Se tomarmos L₃=BD.L₁L₂ e L₄=AC.L₁L₂, será B'D'//OL₃ e A'C'//OL₄. Para ser B'D'⊥A'C', O terá de ser tal que OL₃⊥ OL₄, ou seja, O terá de ser um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄.

A homologia de que precisamos terá uma reta limite dependente do quadrilátero L₁L₂ e um centro O dependente do diâmetro L₃L₄ (pontos limite das diagonais do quadrilátero).
O eixo é uma qualquer reta paralela à reta limite.

Pode ver 2 bonecos um primeiro dinâmico e um segundo estático. Ou só o segundo....

Entre um quadrilátero qualquer e um paralelogramo, que homologia?

Determinar a figura correspondente de outra por uma determinada transformação geométrica é o tipo de exercício ou atividade que temos vindo a ilustrar. Nas últimas entradas, temos vindo a ilustrar a determinação de figuras homológicas para dadas homologias.

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Um outro tipo de exercícios consiste em determinar a homologia que transforma uma figura noutra com propriedades específicas. De certo modo, já houve ilustrações que ajudam a resolver problemas deste tipo. Mas, decidimos dar alguns exemplos só para ilustrar esse tipo de problemas.
Nesta entrada, procurámos a homologia que transforma um quadrilátero dado num paralelogramo. Dado um quadrilátero ABCD, determinar uma homologia que o transforme em A'B'C'D' de lados opostos a encontrar-se em pontos da reta imprópria.
Se queremos que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos da reta imprópria, AB.CD e AD.BC têm de ser pontos da reta limite. A homologia que procuramos terá de ter como reta limite a reta definida por esses dois pontos, na figura L₁ e L₂.
Tomando um centro O qualquer, OL₁ será a direção das imagens das retas correspondentes às que se intersetam em L₁: A'B'//C'D'//OL₁. Esas paralelas a OL₁ são tiradas pelos pontos de interseção de um eixo com AB e CD. Do mesmo modo, A'D'//B'C'//OL₂ ...
O eixo da homologia poderá ser uma reta qualquer paralela à reta limite porque esta contém o ponto correspondente ao ponto impróprio do eixo pela homologia em estudo.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Assim foi. Já não é aqui.

Hipérbole afim de outra: vértices, eixos, assíntotas

Apresentamos nesta entrada a construção de uma hipérbole afim de uma outra de que são dados o centro O, os vértices A e B e as assíntotas. A afinidade fica bem definida pelo eixo e e por um par (P, P') de pontos correspondentes.
Para determinar O', tome-se a reta OP. O' é a interseção da paralela a PP' tirada por O com a reta que passa por e.OP e por P'.
Para determinar A' e B', toma-se a reta AB (eixo) que passa por O. Porque A'B' passa por e.AB e por O' e AA'//PP'//BB', ficam bem determinados A' e B'.
As homólogas das assíntotas da hiperbole original passam por O e pelos respetivos pontos de interseção do eixo com as assíntotas originais.

Parábola afim de outra: eixos e vértices

Nesta entrada, apresentamos a construção de uma parábola por afinidade de outra parábola dada e de que conhecemos o eixo de simetria a e o vértice A (imagem de si mesmo pela reflexão relativa ao eixo a da parábola). A afinidade que consideramos é dada pelo eixo e e pelo par de correspondentes (A, A').
Como sabemos AA' dá a direção da afinidade que é o mesmo que dizer que para qualquer (X,X') de pontos homólogos pela afinidade, XX'//AA'. Também sabemos que o ponto A é duplo para a reflexão relativamente a a, está sobre t, perpendicular a a, tirada por A e é o único ponto da parábola e de t. A imagem, t', por afinidade de t, é a reta definida por e.t e A' e a imagem por afinidade do eixo a é a reta a' definida por e.a e A'.
O mais natural é que, para a afinidade considerada, a' não seja o eixo de simetria da parábola afim da dada (e A' não seja o seu vértice).
Nesta construção, determinamos quatro pontos homólogos, pela afinidade, de pontos da parábola dada, com o cuidado de termos entre eles, o vértice.
Para isso, tomamos uma perpendicular, n', a _a' num dos seus pontos, N', e determinamos o seu homólogo, N, sobre a (NN'//AA') e a reta, n, homóloga de n', definida por e.n' e N.
Os pontos C e D da parábola original, em que n a corta, têm como homólogos, C' e D', pontos de interseção de n' com a parábola afim. Por n' ser perpendicular a a', C' e D' são simétricos relativamente a um eixo de reflexão que é o eixo da parabola afim e interseta esta em B' que é o vértice da parábola afim da original.

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Afinidade: eixos de simetria da elipse afim de uma circunferência

Na construção que se segue, determinamos duas cónicas afins por uma afinidade de eixo e de que é dado um par (O, O') de pontos correspondentes e a circunferência centrada num deles.
E sugerimos um processo elementar para determinar os eixos de simetria da elipse:
Os eixos de simetria da elipse são perpendiculares a passar pelo centro da elipse correspondentes a certos diâmetros da circunferência.
Tomado um diâmetro da circunferência intersetamo-lo com o eixo da afinidade. Por esse ponto de interseção tomamos uma reta a passar por O' e assim temos o diâmetro correspondente na elipse.
Assim para os eixos de simetria, basta tomar uma circunferência a passar por O e O' e com centro e diâmetro sobre o eixo de afinidade. Cada uma das meias circunferências separadas pelo eixo da afinidade circunscrevem ângulos retos cujos lados intersetam o eixo nos extremos do diâmetro da circunferência. Os lados dos ângulos retos centrados em O e O' intersetam-se sobre o eixo de afinidade. E assim temos os eixos de simetria da elipse e seus homólogos na circunferência (qualquer diâmetro da circunferência é seu eixo de simetria, mas só dois deles são correspondentes dos eixos da simetria da elipse homológica)

" Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos O e O' na figura.

A figura ilustra bem que qualquer par de tangentes paralelas da circunferência são perpendiculares nos extremos de uma corda que é a polar do ponto do infinito qe elas representam. Claro que, no caso da circunferência, essas cordas são diâmetros que têm todos um ponto em comum, polo da reta do infinito e centro da circunferência.
Como vimos, para as homologias que não eram afinidades, dadas uma circunferência e uma hipérbole homológicas, o centro da hipérbole era homóloga do ponto C de interseção das tangentes à circunferência em pontos homólogos de pontos impróprios (L₁ e L₂ na reta limite, C era o polo de L₁L₂ ). No caso da afinidade, os homólogos de pontos impróprios são pontos impróprios e as polares de pontos impróprios são os diâmetros a passar pelo centro. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade.
Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim. Cada diâmetro paralelo a duas tangentes paralelas contém o ponto impróprio que é o polo do diâmetro perpendicular a ele e é por isso que diâmetros perpendiculares da circunferência são conjugados (por cada um deles conter o polo do outro)
Na figura fica claro que há pares de diâmetros conjugados que por afinidade correspondem a diâmetros conjugados da elipse. Mas há um só par de diâmetros da circunferência que tem por correspondentes os eixos de simetria da elipse afim.