Uma colineação perspetiva é produto de duas polaridades

Na figura dinâmica abaixo, mostra uma colineação perspetiva (homologia ou elação) com centro em Oe eixo o=CP que transforma A num outro ponto A' incidente na reta c=OA. C e P são pontos arbitrários sobre o eixo o (que passa por O para o caso da colineação ser uma elação). Sejam B um ponto arbitrário de c=OA e p uma reta tirada por O que interseta AC e A'C: Q=p.b=p.AC e Q'=p.b'=p.A'C.
Verificamos que aquela colineação perspetiva é a composta das duas polaridades (ABC)(Pp) e (A'BC)(Pp)

De fato, a primeira polaridade (ABC)(Pp) transforma os quatro pontos A=b.c, P, O=c.p, Q=b.p nas quatro retas a=BC, p, o=CP, BP. E a segunda polaridade (A'BC)(Pp) transforma estas últimas retas em A'=b'c, P, O=c.p, Q'=b'.p
A composta das duas polaridades transforma o quadrângulo APOQ em A'POQ' que é a única colineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (considerados os lados e os vértices por uma ordem determinada), como provámos anteriormente. Por ser única é a colineação perspetiva considerada inicialmente de centro O e eixo o que transforma A em A', seja ela homologia ou elação.

Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transforma A em A' e B em B' pode ser obtida como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas polaridades. Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o quadrângulo OJLA em OJLA'.


[A.A.M.]
Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C em C').
Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l'p→OJLA' ou seja a composta transforma OJLA em OJLA'. Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p) transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

---

É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser estendido para a elação em que O incide sobre o.
Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é sempre um produto de duas polaridades.

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e a correlação que transforma B em b=DE, C em c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.
Esta correlação projetiva que transforma cada vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma polaridade desde que transforme a em A, a saber (FBE)(Aa).
Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos restantes lados. Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.

Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A₁, b.d=B₁ e c.d=C₁. A figura representa pois um quadrilátero completo (4 retas e 6 pontos: (62,43))


[A.A.M.]

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A₁ de a, e b' polar de B passando por B₁ de b. (A, A₁) e (B, B₁) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C encontra c=AB num ponto de A₁B₁=d, obrigatoriamente C₁=c.d, que é o mesmo que dizer que C é conjugado de C₁.
Ficou assim provado que
Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade, resultado conhecido por teorema de Hesse.

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

---

Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta x=X₁X₂ assim determinada
A₁=a.PX,   P₁=p.AX,   X₁=AP.A₁P₁
B₂=b.PX,   P₂=p.BX,   X₂=BP.B₂P₂



[A.A.M.] Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo PAX(amarelo) e pax são perspetivos:
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P₁=AX.p, A₁=XP.a e PA.x.
X₁= P₁ A₁. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um outro ponto da polar x de X, X₂=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A₁P₁=AP e X₁ fica indeterminado. Mas X₂ pode ser determinado e a polar de X é A_pX₂ em que A_p=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B_pX₁
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

---

Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)] Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por A_p, B_p ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.