Numa secção quadrangular, cada ponto depende dos outros 5

Cada ponto de uma secção quadrangular é determinado unicamente pelos 5 pontos restantes .

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Como já tínhamos visto, quaisquer cinco pontos A, B, C, D, E colineares podem sempre ser vistos como elementos pertencentes a lados de um quadrilátero. Para ver isso, basta desenhar um triângulo QRS cujos lados RS, SQ, QR passam por C, B, D. Estes lados podem ser quaisquer 3 retas não concorrentes em C, B, D. O quarto ponto P do quadrângulo pode ser obtido como intersecção das retas AS e ER e finalmente um ponto F colinear com os pontos A, B, C, D, E (de uma recta g qualquer que seccione os lados PS, QS, RS, QR, RP e PQ do quadrilátero: O conjunto de 6 pontos das intersecções de g com cada um dos respectivos lados do quadrângulo e de tal modo que os primeiros 3 pontos incidem em lados a passar por vértices enquanto que os restantes três pontos incidem respectivamente sobre lados opostos que fomam um triângulo. O que estamos agora a fazer é provar que se escolhermos diferentes triângulos QRS, o ponto F continua o mesmo.

Experimente deslocar qualquer dos pontos Q, R, S na janela de visualização inicial (do primeiro passo9.

[A.D.A.M.]
Para mostrar que F é determinado unicamentepelos pontos A, B, C, D, E, consideremos um outro quadrângulos P'Q'R'S' cujos primeiros cinco lados passam pelos mesmos cinco pontos em g - A, B, C, D e E - e de tal modo que os dois triângulos P'R'S' e PRS sejam perspectivos relativamente a g e sendo também perspectivos relativamente a um ponto O=RR'.SS' de PP'. De modo análogo, os triângulos perspectivos QRS e Q'R'S' relativamente a QQ' que passa pelo mesmo ponto O.

Podemos dizer, por isso, que PQRS e P'Q'R'S' são quadrângulos perspectivos. Por isso, os triângulos PQR e P'R'S', que são também pespectivos pela recta DE que é g. E que os lados PQ e P'Q' se intersectam com g no mesmo ponto F (como esperávamos).

Secção de um quadrilátero completo

Tomemos quatro pontos P, Q, R, S tal que não há ternos que sejam colineares. São os quatro vértices de um quadrilátero. Tomemos, em seguida, as seis retas PQ, PR, PS, QR, QS, RS. São os seis lados do quadrilátero completo. Os pares lados opostos encontram-se em 3 pontos que não são vértices e a que chamamos pontos diagonais (um triângulo diagonal)
Uma reta g que corte os lados do quadrilátero, cria uma secção pontual de 6 pontos ABCDEF se não passar por qualquer dos pontos diagonais.

A,B,C são as interseções da reta g com as retas PS, QS e RS respetivamente. Estão em retas que passam por um mesmo vértice S. Os restantes D, E, F estão sobre g e os lados QR, RP e PQ respetivamente, opostos de PS,QS e RS. Por isso, representamos esta secção por (AD)(BE)(CF) em que cada par são pontos de lados opostos do quadrilátero completo que se mantém ao aplicarmos uma mesma permutação a ABC e DEF, isto é, (AD)(BE)(CF) tem o mesmo significado que (BE)(AD)(CF), já que o quadrilátero PQRS pode ser chamado QPRS.
(AD)(BE)(CF) é igualmente equivalente a cada uma das seguintes (AD)(EB)(FC), (DA)(BE)(FC), (DA)(EB)(CF).
À secção do quadrilátero completo, chamamos conjunto quadrangular e representamo-lo também por Q(ABC, DEF), para além das representações do tipo (AD)(BE)(CF)

Três triângulos perspetivos por um ponto O

Na construção a seguir, os triângulos verde, azul e vermelho são perspetivos por O. Como pode observar-se, a figura sugere que as retas D₁E₁F₁, D₂E₂F₂ e D₃E₃F₃ incidem num mesmo ponto K.




Para provar esse resultado, Coxeter dá a sugestão de aplicar o recíproco do terorema de Desargues aos triângulos D₁D₂D₃ e E₁E₂E₃.

Novo problema:
Coxeter pergunta o que acontece ao recíproco do Teorema de Desargues se o aplicarmos a triângulos cujos lados correspondentes se intersetam em pontos do infinito (paralelos)?

Teorema de Desargues e recíproco

Na entrada anterior e nesta, apresentamos uma construção dinâmica em que partimos de um feixe por O e de dois triângulos ABC e DEF em que cada um dos vértices está sobre uma reta do feixe e de tal modo que A→D, B→E e C→F, isto é AD∩BE∩CF={O}, isto é ABC é O-perspetivo DEF. Observámos que os pares de lados correspondentes (AB, DE) ou (c,f), (AC,DF) ou (b, e), (BC, EF) ou (a, d) se intersetam respetivamente nos pontos R, Q e P que são colineares ou pertencem todos à reta o, que é o mesmo que dizer que os triângulo abc e def são o-perspetivos. Os programas de geometria dinâmica podem verificar que o ponto R está sobre a reta PQ, assim como podem verificar que CF incide sobre o ponto de interseção de AD com BE.



De certo modo, podemos verificar que "Dados dois triângulos e uma correspondência biunívoca pela qual qual os pares de vértices correspondentes definem três retas que incidem num mesmo ponto O, então os pares de lados correspondentes pela mesma correspondência intersetam-se em pontos de uma mesma reta o", ou dito de outro modo, "Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então são perspetivos por uma mesma reta. Este resultado, conhecido por Teorema de Desargues, pode ser demonstrado, mas, mesmo para pares de triângulos do mesmo plano, precisa de um axioma novo e de usar um ponto exterior ao plano. Optamos, por isso e como fazem muitos autores, para o nosso estudo de geometria plana, tomar o chamado teorema de Desargues como um axioma.

Podemos demonstrar o recíproco (dual) do terorema de Desargues, a saber: Se dois triângulos são perspetivos por uma reta o, então são perspetivos por um ponto O. Tome-se da figura em que a.d=P, b.e=Q e d.f=R são pontos de o. E provamos, em consequência disso e do teor de Desargues, que as retas (a.b, d.e) ou CF, (a.c, d.f) ou BE, (b.c, e.f) ou AD se intersetam num ponto.
Recorremos aos triângulos ADQ e BEP. Estes triângulos são R-perspetivos, já que AB∩DE=DE∩QP=AB∩QP={R}. O teorema de Desargues aplicado a estes triângulos ADQ e BEP que são perspetivos por R, garante que AD∩BE={O}, AQ∩BP={C} e DQ∩EP={F} são colineares. Fica demonstrado que a reta CF passa por O, interseção de AD com BE.

Triângulos perspetivos

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos se estiverem relacionados por uma perspetividade. Esta noção pode ser ampliada para quasiquer duas figuras planas envolvendo mais do que um ponto ou mais que uma reta. Dois espécimes de uma figura dizem-se perspectivos se os os seus pontos podem ser relacionados por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de pontos corrrespondentes (ou homólogos) definem retas concorrentes ou se as suas retas podem ser relacionadas por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de retas correspondentes (ou homólogas) se intersetam em pontos colineares.
Considere os dois triângulos ABC e DEF da figura (BC=a, AC=b, AB=c; EF=d, DF=e, DE=f). E repare que AD.BE.CF=O e a.d,b.e, c.f estão sobre a reta o.

Assim os dois triângulos ABC e DEF da figura que se segue são perspetivos, quer porque A→D, B→E e C→F pela perspetividade relativa ao ponto O (as retas AD, BE e CF concorrem num só ponto O), ou porque a→d, b→e, c→f pela perspetividade relativa à reta o.

A O chamaremos centro e eixo a o.