Pavimentações não periódicas por replicação de um ladrilho

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original.

Começamos por uma pavimentação com esfinges congruentes





seguida de uma com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele semelhantes.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações não periódicas

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação.

Começamos por uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D₁₂)





seguida de uma pavimentação com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C₂) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:

Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?

Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.

E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.

Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).

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Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro.





Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.

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Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?

1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
   
2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
   
3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?
   

Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.

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Pavimentações regulares

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3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

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Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas

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3.3.3.3.6	3.3.3.4.4	3.3.4.3.4
3.6.3.6	3.4.6.4	3.12.12
4.6.12	4.8.8

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Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.