Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 6

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3).

GRAU 6

p6 Sem eixos de simetria

p6m Com eixos de simetria

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 3

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas.

GRAU 3

p3 Sem eixos de simetria
p3m1 Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria	p31m Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 4

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º).

GRAU 4

p4 Sem eixos de simetria
p4m Um eixo de simetria passando por centros de grau 4	p4g Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau ≤ 2

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2.

SÓ CENTROS DE GRAU 2

p2 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cmm Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria
pmm Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria	pmg Os eixos de simetria são todos paralelos
	pgg Não há eixos de simetria. Há simetrias de reflexão deslizante

Grupos de simetrias dos padrões do plano e simetrias das pavimentações- GRAU 1

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, o estudo dos grupos de simetria do plano (que antecede o estudo das pavimentações) é concluído com uma síntese da tabela classificativa dos padrões do plano, usando como ilustração de cada grupo uma pavimentação do plano.
Pensamos que, para a classificação dos 17 padrões do plano pode ser uma grande ajuda rever a tabela algorítmica acompanhada destas ilustrações. E é um bom começo para estudar pavimentações poligonais do plano. Como se sabe, estas classificações foram feitas tomando por base que um padrão do plano tem sempre no seu grupo de simetrias, translações associadas a dois vetores u e v independentes ou associadas a m.u+n.v, com m e n inteiros e as restrições no que respeita às simetrias de rotação. A rotação de grau 1, identidade - rotação de 360.k graus com k inteiro, está sempre presente em todos os padrões, mas, para além dessa,m grupos de simetria de padrões do plano, só são admissíveis rotações de grau 2 (180.k ou meias voltas), de grau 3 (120.k), de grau 4 (45.k) e as de grau 6 (60.k).

Começamos com as ilustrações dos grupos que não admitem rotações de grau superior a 1. Assim:

ROTAÇOES DE GRAU 1

p1 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); alguns dos eixos de (rd) não são espelhos
pm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); todos eixos de (rd) são espelhos	pg Sem simetrias de reflexão, mas com simetrias de reflexão deslizante.

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Voltamos a lembrar que em todos os grupos de simetrias dos padrões dos planos há simetrias de translação...