Tirar tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

No 9º ano de escolaridade, estudam-se os lugares geométricos: retas e segmentos, circunferências e círculo; inscrição de segmentos, ângulos e polígonos em círculos. No fundo estudam-se as posições relativas de cada uma delas relativamente a cada uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a circunferência de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma recta a pode ser exterior a uma circunferência de raio r e centro O (r< d(O,a)), tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente é o mais estudado já que a consequência imediata de r=d(O,t) é a tangente (t em T) ser perpendicular ao raio OT o que sugere fortemente uma construção com régua e compasso. No 9º ano, insiste-se, e bem, na construção que recorre ao triângulo retângulo OTP (inscrito numa semicircunferência de diâmetro OP, para ser retângulo no vértice do triângulo que é ao mesmo tempo o ponto de tangência seguro). Na ilustração dinâmica que se segue, o primeiro método é esse. Mas não será descabido deixar pistas de outras construções que, para além de tudo o resto, podem ser estudadas (e validadas) usando raciocínios dedutivos. O segundo método usa uma circunferência auxiliar, concêntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferência de diâmetro OP, usa uma circunferência centrada em P e raio OP.

Ponto de uma recta para ver dois pontos segundo um mesmo ângulo

O problema que agora propomos como exercício interactivo foi sugerido pela entrada anterior.
Temos dois pontos A e B de um mesmo semi-plano determinado por uma recta RS. O problema será determinar o ponto P da recta NS tal que são iguais os ângulo APN e BPS.
Os passos da resolução deste exercício são os mesmos de antigas respostas a outros enunciados.

De onde ver dois círculos sob o mesmo ângulo

Qual é o lugar geométrico dos pontos de que se vêem dois círculos sob o mesmo ângulo?

Há dois pontos que definem o lugar geométrico: os centro das homotetias O e O' que transformam uma circunferência na outra. Repare-se que cada tangente tirada por O (ou O') à circunferência de centro A é também tangente à circunferência de centro B.

Retângulos inscritos num triângulo e interseção das diagonais

Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?

Paralelas, secantes por um ponto e lugar da interseção de diagonais

Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB'e BA'?