Triângulos e quadriláteros, mesmo quando não parece

Um mesmo resultado permite resolver muitos problemas aparentemente muito diferentes. O resultado que serve para determinar um triângulo a partir de 2 lados e da mediana, apresentado recentemente, serve também para determinar dois pontos cada um em cada uma de duas rectas concorrentes dadas e de tal modo que um ponto A, dado seja deles equidistante e colinear.

Triângulo a partir de um vértice A, |AB|,|AC| e |AHa

Um problema de construção de enunciado em tudo semelhante ao do último exercício interactivo proposto usando comprimentos de lados e da mediana.
Aqui trata-se de determinar a partir de A e da recta AB, os pontos B e C e os lados AB, AC e BC do triângulo de que se conhecem os comprimentos dos lados c=AB=5 e b=AC=4 e da altura h_a =AH_a=3.






Este exercício pode ser dado durante o 9º ano, pedindo a justificação para a construção de tangentes que aprendam em educação visual ou após o ensino das circunferências, cordas, tangentes, etc. Está de certo modo relacionado com a demonstração pedida para o facto da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo o dividir em dois isósceles equivalentes.

Uma mediana no triângulo rectângulo

Tome-se um triângulo rectângulo em A e a mediana de A para o ponto médio de BC. A mediana divide o triângulo rectângulo (como qualquer outra em qualquer triângulo) em dois triângulos equivalentes (Porquê?). Mas neste caso, a mediana divide em dois triângulos isósceles. O exercício para os 7º e 8º anos de escolaridade é demonstrar isso mesmo. Com o que se aprende no 9º ano, já passa a ser outra coisa.

Demonstração simples

A partir do triângulo equilátero ABC, construímos o triângulos A'B'C' para fora (e o triângulo A''B''C'' para dentro) nas condições da figura em que AA'=BB'=CC'.
Pedimos que se demonstre que A'B'C' é equilátero.




É uma demonstração simples e boa para os alunos do ensino básico aprenderem a separar hipótese de tese e a escrever os passos sucessivos da demonstração que não precisa de mais do que critérios de congruência de triângulos (estudados no 7º ano)

Determinar um triângulo conhecidos A e comprimentos b, c, ma

Voltamos, durante algum tempo, a exercícios básicos (pelo menos na aparência) e que podem ser apresentados a alunos do ensino básico.

O primeiro exercício que apresentamos é interactivo e pede que determinemos, a partir de A e da recta r=AB, os restantes elementos de um triângulo ABC de que sabemos os comprimentos dos lados c=AB=5, b=AC=4 e da mediana m_a=AM=3.




O Arsélio não promete dar a solução antes de Setembro. Talvez possa dar sugestões. Ou responder a dúvidas que lhe ponham.