Usando reflexões (II)

Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B.
Se designarmos por C' a imagem de C por essa reflexão, temos um trapézio isósceles ACC'B, de diagonais iguais AC'=BC. Também sabemos que, relativamente aos ângulos, C'AC=C'BC=A-B. Conhecido AC, e tomado um A, determinamos C. Conhecido A-B =C'AC e sabendo que é dado BC (=AC'), determinamos C' a partir de A.
Isto mesmo pode seguir, passo a passo, na construção dinâmica que apresentamos a seguir.

Usando meia volta em torno de um ponto médio

Para resolver o problema
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”

Observemos um quadrilátero ABCD de que conhecemos os comprimentos AB, BC, CD, DA dos lados e ainda o comprimento do segmento EF em que E e F são os pontos médios de AB e CD respetivamente. Consideremos a rotação de meia volta em torno de F (ou reflexão relativamente a F) que transforma [ABCD] em [B'A'DC], como mostra a figura ao lado. O ponto E médio de AB é transformado em E' ponto médio de A'B' sendo F'= F ponto médio de CD. Os pontos médios de AB', A'B, e EE' são colineares sobre uma reta paralela a AB (MF), sendo MF=BE=AE=AB/2. F é intersecçao de duas circunferências: (C, CD/2).(M, AB/2). Podemos, portanto, seguir os seguintes passos para a resolução do problema: Construimos o triângulo BCA’ cujos lados são conhecidos: BC é dado, CA’ = AD, BA’ = 2 EF. O ponto F está a uma distância EB do ponto M médio do segmento BA’ e a uma distância CD/2 do ponto C; é. pois, a intersecção de duas circunferências. Obtido F, temos o vértice D. Sobre a paralela a CA’ por D, tomamos um ponto cuja distância a D seja igual a AD. Temos assim o quadrilátero construído de acordo com os dados.

A construção que se segue, pode ser visitada passo a passo. No caso desenhado agora (na reconstrução) começámos pelo ponto A (livre no plano, que pode deslocar...) e um ponto D livre sobre a circunferência (A,DA) de centro em A e raio AD. De resto, o processo é o mesmo do acima descrito: B' é (A, 2EF).(D,BC) já que B'D= BC e ....

Problema para resolver

Considere os cinco comprimentos (dados no quadro dinâmico que se segue) como comprimentos dos lados do quadrilátero ABCD e do segmento que une os pontos médios E e F dos lados AB e CD. Usando os resultados referidos na entrada anterior, construa o quadrilátero ABCD.

Usando translações

Há problemas cuja solução se pode obter recorrendo à transformação por translação. É o caso do seguinte, proposto por Puig Adam:
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”.

Propomos que siga os passos previstos na construção que se segue, observe as figuras construídas (por translação) a partir do quadrilátero original e as suas propriedades. O conhecimento dessas propriedades e relações entre os seus elementos permite resolver o problema proposto.

Das medianas ao triângulo, com translações

No seu Curso de Geometria Métrica para engenheiros, existente na nossa Escola José Estêvão, Puig Adam apresenta alguns exercícios como exemplos de aplicação de transformações geométricas.
Um deles consiste em construir um triângulo de que se conhecem as medianas.
Pode ser um problema simples. Ou não.

Relativamente a esse exercício (que nos lembramos de ter tentado resolver noutras circunstâncias), juntamos aquilo que lemos ou vimos como sugestões do autor.
Da construção seguinte recomendamos que siga os passos pela ordem assinalada, procurando verificar todas as propriedades e relações dos elementos dos triângulos HIJ e AKH com os elementos do triãngulo ABC.



O triângulo HIJ, que é mostrado no primeiro passo, tem os lados paralelos aos lados de ABC (paralelas tiradas por cada vértice oposto a cada lado) com comprimento duplo, sendo tal que os vértices do primeiro ABC são pontos médios dos lados de HIJ e as medianas deste (HA, IB e JC) contêm as medianas de ABC (respectivamente AD, BE e CF) sendo AH=2AD, IB=2BE e JC=2CF.
O segundo passo mostra-nos o triângulo AKH cujos lados são os dobros das medianas de ABC (AH, IB, e JC, como pode ver-se facilmente - lados opostos de paralelogramos: AH , AK//BI e KH//CJ). Este triângulo tem o seu baricentro em B e é, do mesmo modo, imediato verificar que AB, BK e BH têm comprimentos iguais aos lados AB, BC e AC.
Fica, deste modo, claro que um triângulo cujos lados sejam iguais a dobros das medianas dadas de um triângulo ABC, fornecem os comprimentos dos lados de ABC.

Verá que isso resolve o problema seguinte:

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Determinar um triângulo ABC de que se conhecem as medianas

Pode clicar sobre a área de trabalho seguinte para tentar determinar o triângulo de vértice A que tem m₁,m₂ e m₃. Pode depois comparar com a nossa proposta de solução. Ou pode ver os dois passos da nossa solução à luz dos resultados vistos com a construção anterior.





A nossa proposta de resolução do exercício proposto, consiste na construção do triângulo AKH com lados iguais aos dobros das medianas dadas e determinando B como centro de garvidade de AKH e C como quarto vértice do paralelogramo ABKH. Só isso.

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Tente depois o seguinte
Construir um triãngulo de que se conhecem dois lados e a mediana que passa pela intersecção dos dois.
também proposto por Puig Adam.