MaMbMc: Solução.

Para determinar os vértices de um triângulo de que se conhecem s pontos médios dos lados, pensamos e procedemos como segue:

Se M_b é o ponto médio de AC e M_c é o ponto médio de AB, uma homotetia de razão 2 e centro em A transforma M_b em C e M_c em B. Por isso, M_bM_c é paralela a BC.

Então basta traçar as rectas M_aM_b, M_aM_c, M_bM_c. A paralela a M_aM_b por M_c é a recta AB, BC é a paralela a M_bM_c por M_a e AC é paralela a M_aM_c tirada por M_b. As intersecções das três recta duas a duas dão os vértices A, B e C pedidos.

AMbMc - Resolução

Para determinar os vértices B e C de um triângulo ABC de que conhecemos o vértice A e os pontos médios dos lados AC e AB, com as ferramentas que temos à mão ou que nos deram, pensamos e procedemos assim:

Tracemos as rectas AMb e AMc. Como Mb e Mc são os pontos médios dos lados, respectivamente, AC e AB, então o simétrico de A em relação a Mc é o vértice B e o simétrico de A em relação a Mb é o vértice C.

---

Na aplicação que se segue, clicando sobre os botões da barra ao fundo, pode ver os passos da construção: controlando cada passo do desenho, reproduzindo a sucessão dos passos em desenho, pelo protocolo-descrição dos passos da construção



[AdAM]

Propriedade do baricentro

Antes de iniciarmos a publicação de exercícios envolvendo o baricentro de um triângulo, lembramos uma das suas propriedades.

Teorema. Seja o triângulo ABC e o seu baricentro G. G divide cada mediana em dois segmentos na razão 1 para 2.





Demonstração. Na construção dinâmica acima, tomámos G e as medianas que unem os vértices aos pontos médios dos lados opostos. Considere-se AM<sub>a. Vamos ver como G divide AMa.
As paralelas a CMc, tiradas por Mb e Ma, dividem AB em quatro segmentos iguais: AQ=QMc=McR=RB.
E em AMa, AP=PG=GMa. Ou seja, recorrendo ao teorema de Thales, G divide AMa em dois segmentos tais que AG= 2GMa.

O mesmo acontece com as outras medianas do triângulo.</sub>

---

Nota:
De forma análoga, se demonstra que uma paralela a um dos lados do triângulo tirada por G, divide cada um dos outros lados em segmentos na razão 1 para 2. (Ao cuidado do leitor)

Exercício: MaMbMc

De um triângulo ABC, são dados os pontos médios Ma, Mb, Mc dos seus lados. Determine os seus vértices.





Procure resolver o problema e escrever um relatório de execução. Daqui a uma semana, publicaremos a nossa resolução e o respectivo relatório.

---

Claro que, nesta restauração, não se apresentaram as ferramentas para uma resolução interactiva feita pelo leitor e antes etapas da resolução. A resolução prevista repetirá esta construção.

Exercício: AMbMc.

Temos estado a tratar de várias demonstrações que é possível abordar no ensino da geometria do 3º ciclo. A propósito dos temas que referimos vamos dar sugestões de exercícios interactivos muito simples que permitem exercitar a utilização dos conceitos.
Na construção que se segue. de um triângulo ABC são dados A, Mb e Mc em que Mb é o ponto médio de AC(=b) e Mc é o ponto médio de AB. Pede-se que determine os vértices B e C, utlilizando as ferramentas disponíveis (identificadas por icones na barra superior).
Não se apresenta um exercício interactivo em que apresentam as ferramentas para que possa determinar B e C usando as ferramentas. Nesta restauração, apresentamos a solução. Passo a passo... se vai repetir um pouco mais à frente.....


[AdAM]

Pedimos que, para este exercício e seguintes,tente escrever o relatório da construção que fez. Uma semana depois da proposta de exercício, publicamos a nossa resolução e respectivo relatório.

Bom trabalho!