Pontos de Fermat, pontos isodinâmicos e ponto de Lemoine

No triângulo ABC determinemos:
- os pontos V1 e V2 de Fermat (ou pontos isogónicos)
- os pontos isodinâmicos W1 e W2 (que são os pontos isogonais dos pontos de Fermat)
- o ponto Le de Lemoine.
As polares trilineares dos pontos V1, V2, W1, W2 formam um paralelogramo - resultado inesperado! Mas há mais: uma das diagonais do paralelogramo é a polar trilinear (ou recta de Lemoine) do ponto Le.





As ferramentas disponíveis permitem verificar, sobre a construção dinâmica, os resultados apresentados.

Os três pontos e as três rectas

Nas últimas entradas, andámos a ver rectas definidas inicialmente de um modo, podiam ser definidas e construídas de outro modo. Por exemplo, a recta de Lemoine apareceu definida como polar trilinear do ponto de Lemoine e como eixo radical de duas circunferências. Na construção de hoje, a tracejado castanho, fica sugerido (só?) que a recta de Lemoine também pode ser obtida (e definida?) como polar do ponto Le - ponto de Lemoine - relativamente ao circuncírculo.

Mas o que a construção de hoje quer tornar patente (dinamicamente falando) é que à colinearidade vermelha dos pontos Re, G e Le corresponde o facto das rectas p_Re, eo e r_Le se intersectarem num ponto vermelho. Como se esperava?



[A.A.F.]
o que não mantém as notações do texto


Estes trabalhos de pontos e rectas do triângulo foram acompanhados por Paulo Correia que se lembrou de nos dar a conhecer o trabalho notável (também de paciência!) da equipa de Humberto Bortolossi que fez construções dinâmicas de 1000 pontos notáveis (de cada vez) a mostrar-nos comportamentos das suas posições relativas para diferentes triângulos que nos deixam maravilhados. A primeira impressão que tive foi "isto é um vespeiro!". Obrigado, Paulo!

Chegados aqui, temos de dizer que do lado da persistência nas construções geométricas estão António Aurélio Fernandes e Mariana Sacchetti (que não deixam descansar os livros velhos e novos e tornam a vida de todos nós muito mais dinâmica!).

Polar trilinear do Retrocentro

No artigo Recíproco do Ortocentro , de 16 de Agosto de 2008, apresentávamos uma construção do retrocentro de um triãngulo. Sobre cada lado do triângulo tomávamos o seu ponto médio e, relativamente a ele, o simétrico do pé da altura. As cevianas - segmentos de cada vértice para esses simétricos dos pés das alturas - encontram-se no Retrocentro. No mesmo artigo, uma outra construção ilustrava, dinamicamente, que o Retrocentro é colinear com os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel.

Neste artigo de hoje, ilustra-se a construção (a verde e castanho) da polar trilinear do Retrocentro.



[A.A.F.]

Pode verificar a estabilidade, deslocando os vértices do triângulo [ABC]

Eixo órtico como eixo radical

O eixo órtico do triângulo ABC é simultaneamente o eixo radical dos seus circuncírculo e círculo dos nove pontos.

A azul está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo dos nove pontos.
A verde está a construção do eixo órtico.




[A.A.F.]

Eixo radical e recta de Lemoine

A recta de Lemoine é a polar trilinear do ponto de Lemoine (ponto em que as simedianas do triângulo se cruzam), mas é também o eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard, ambos na figura.

A vermelho está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo de Brocard.
A verde está a construção da polar trilinear do ponto, L, de Lemoine.




[A.A.F]