A Mariana propôs um resultado sobre triângulos e nós ficámos sem saber muito bem o que fazer dele. Sem saber como falar dele sem ser a falar por falar. Mas aqui fica o desafio para pensar.
Determinar o vértice C do triângulo [ABC] de que se conhecem os lados a e c e os raios ra e rb dos círculos ex-inscritos nos ângulos A e B
Clicando sobre o enunciado, tem acesso ao respectivo exercício interactivo.
O que é simples e interessante disto é o que vou propor aos meus alunos do 8º ano na forma do Desafio que saiu no Público, pela mão do J. P. Viana, num dos últimos meses de 1998. Que desafio?
A Mariana garante (e com razão!) que pode dispensar um dos dados - o lado a, por exemplo. Experimente realizar o exercício interactivo sem precisar do lado a.
2.10.06
Animação com triângulo e hipérbole
Até agora não tínhamos conseguido fazer uma animação razoável para mostrar a ligação entre a hipérbole equilátera dos exincentros de um triângulo com a circunferência a ele circunscrita. Os olhos da Mariana que viram a relação entre triângulos dos exincentros e o triãngulo órtico deram conta do recado que aqui entregamos. Clique para ver a animação.
Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros Ia, Ib, Ic e pelo incentro I de um triângulo [ABC] tem o centro Oh sobre o círculo circunscrito ao triângulo.
Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros Ia, Ib, Ic e pelo incentro I de um triângulo [ABC] tem o centro Oh sobre o círculo circunscrito ao triângulo.
25.9.06
Parábola exinscrita a um triângulo
No artigo anterior, apresentámos mais uma propriedade dos triângulos
Cada parábola exinscrita no triângulo tem a directriz a passar por H e o foco no círculo circunscrito.
em lista de espera de uma construção interactiva que a esclarecesse
A ilustração estática, que se segue, foi obtida da animação original feita em Zirkel - ReC e entretanto inviabilizada.
Em seguida, uma construção dinâmica em Geogebra feita para a recostrução:
[A.A.F.]
Se a parábola de foco F e directriz d for tangente aos três lados de um triângulo [ABC], tem a directriz d a passar pelo ortocentro H e o foco F sobre a circunferência circunscrita ao triângulo.
Cada parábola exinscrita no triângulo tem a directriz a passar por H e o foco no círculo circunscrito.
em lista de espera de uma construção interactiva que a esclarecesse
A ilustração estática, que se segue, foi obtida da animação original feita em Zirkel - ReC e entretanto inviabilizada.
Em seguida, uma construção dinâmica em Geogebra feita para a recostrução:
[A.A.F.]
Se a parábola de foco F e directriz d for tangente aos três lados de um triângulo [ABC], tem a directriz d a passar pelo ortocentro H e o foco F sobre a circunferência circunscrita ao triângulo.
15.9.06
Triângulos, cónicas e Cinderella
António Aurélio Fernandes, do mundo dos triângulos, tem insistido em publicar mais resultados sobre triângulos e respectivas construções (ou ilustrações, quando não conseguirmos mais). Os resultados relativos a cónicas sempre nos lembraram as limitações do software que usamos. Descobrimos hoje, ao tentar construções com cónicas, que a última versão do Cinderella não tem as limitações das anteriores e não resistimos a publicar uma animação que ilustra bem que
Toda a hipérbole equilátera circunscrita a um triângulo passa pelo seu ortocentro H.
Nunca esqueremos a eternidade que fomos deixando passar enquanto tentávamos noutros tempos algumas construções tão fora do seu tempo. Sabemos que Cinderella está muito mais forte e bela. A verdade seja escrita
Em fila de espera descansam por mais uns momentos:
Nunca esqueremos a eternidade que fomos deixando passar enquanto tentávamos noutros tempos algumas construções tão fora do seu tempo. Sabemos que Cinderella está muito mais forte e bela. A verdade seja escrita
Em fila de espera descansam por mais uns momentos:
- Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros e pelo incentro de um triângulo tem o centro sobre o seu círculo circunscrito.
- Cada parábola inscrita no triângulo tem a directriz a passar por H e o foco no círculo circunscrito.
14.9.06
Despertar para a demonstração
Em fins de Julho, publicámos um conjunto de resultados interessantes sobre triângulos integrados na série Despertares . Não tínhamos, na altura, a ideia de apresentarmos as demonstrações. Temos vindo a ser confrontados com a necessidade de apresentar algumas demonstrações exemplares em simplicidade. Podemos por isso falar neste artigo como mais um "despertar para a demonstração".
O que se aprende sobre Geometria, em particular sobre triângulos, é, em geral, tão pouco que, contando só com isso, a maioria dos problemas propostos ficaria sem solução. Quem imaginaria, por exemplo, que a área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro p pelo raio r do círculo inscrito?!
E afinal até é fácil demonstrá-lo:
Unamos I a A, a B, a C. A área do triângulo [ABC] é a soma das áreas dos três triângulos [IAB], [IAC] e [IBC]:
(1/2)a.r + (1/2)b.r + (1/2) c.r = (1/2)(a + b + c).r = p r.a
Do mesmo modo se demonstra que a área de um triângulo [ABC] também é dada por:
(p - a).ra ou (p - b).rb ou (p - c).rc.
em que p é o semiperímetro, a,b e c lados do triângulo e ra, rb e rc raios das exinscritas
De facto, área[ABC] = área[ABIa]+área[ACIa]-área[BCIa], todos triângulos de altura ra e bases, respectivamente c, b e a.
Logo, área[ABC]=(c.ra+b.ra-a.ra)/2 =[(1/2)[(a+b+c)] -a].ra=(p-a).ra
Aurélio Fernandes ainda lembrou que, designando por I' e I'a os pés das perpendiculares a AB tiradas por I e por Ia (projecções sobre AB de I e Ia, ou pontos de tangência de AB com as circunferências inscrita e exinscrita...), é verdade que
|AI'a|=p
|AI'| =p-a.
O que se aprende sobre Geometria, em particular sobre triângulos, é, em geral, tão pouco que, contando só com isso, a maioria dos problemas propostos ficaria sem solução. Quem imaginaria, por exemplo, que a área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro p pelo raio r do círculo inscrito?!
E afinal até é fácil demonstrá-lo:
Unamos I a A, a B, a C. A área do triângulo [ABC] é a soma das áreas dos três triângulos [IAB], [IAC] e [IBC]:
Do mesmo modo se demonstra que a área de um triângulo [ABC] também é dada por:
em que p é o semiperímetro, a,b e c lados do triângulo e ra, rb e rc raios das exinscritas
De facto, área[ABC] = área[ABIa]+área[ACIa]-área[BCIa], todos triângulos de altura ra e bases, respectivamente c, b e a.
Logo, área[ABC]=(c.ra+b.ra-a.ra)/2 =[(1/2)[(a+b+c)] -a].ra=(p-a).ra
Aurélio Fernandes ainda lembrou que, designando por I' e I'a os pés das perpendiculares a AB tiradas por I e por Ia (projecções sobre AB de I e Ia, ou pontos de tangência de AB com as circunferências inscrita e exinscrita...), é verdade que
|AI'a|=p
|AI'| =p-a.
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