Memórias de Aurélio

De vez em quando, Aurélio Fernandes vem lembrar-nos das propostas passadas que não passaram de propostas. Ele diz que ninguém tentou apresentar uma construção das 3 cirunferências tangentes (duas a duas) centradas em 3 pontos dados. Nem nós que nos ficámos pelas circunferências centradas nos vértices de um triângulo equilátero. Mais geral ainda, o que se propôs foi a construção de três circunferências diferentes tangentes duas a duas. Sem resposta. Até agora. Ficamoa à espera uns dias de uma resposta. Aqui fica uma nota de memória de Aurélio.

Mais propostas com triângulos e circunferências:
(1)Construir três circunferências tangentes entre si e aos lados de um triângulo equilátero.
(2)Construir seis circunferências tangentes entre si e aos lados de um triângulo equilátero.

A construção geral

Apareceram afinal mais estudantes a apresentar a construção cheia de graça do octógono regular (dado o lado), por exemplo, o J. Vieira. E, pelo que nos disseram, estamos perante um processo geral (ensinado em Educação Visual e Desenho) para construção de polígonos regulares a partir do lado. E podemos deslocar o nosso olhar para a matemática do processo. Quer desenhar um heptágono? Divida aquela semicircunferência em sete partes iguais e... O problema será: E como é que se divide (com régua e compasso) uma semicircunferência em sete partes iguais?

O tri(rect)ângulo

Podemos construir um triângulo rectângulo se conhecermos tão somente os comprimentos dos raios das suas circunferências inscrita e circunscrita. Não podemos?

Octógono cheio de graça

Há muitas formas de abordar a construção de um octógono. Apresentámos duas para além das que o Paulo de Alcácer nos mandou. Pode ter interesse ainda olhar para o octógono decomposto em dois trapézios isósceles separados por um rectângulo. E parecia-nos que íamos fechar o capítulo dos octógonos.

Eis senão quando o nosso Afonso Graça, aluno do 11º ano, apresentou uma nova construção muito rica (de implicações).

O octógono mais simples é sagrado.

A construção de um octógono regular a partir do seu lado foi-me sugerida pela arquitectura religiosa e pelo desenho de alguns artefactos sagrados. Mas o que interessa é a simplicidade. O lado de um octógono regular, quando inscrito numa circunferência, corresponde a um ângulo ao centro de 45º. Ao construir uma circunferência de centro em M e diâmetro AB, obtemos um ângulo ANB recto (N sobre a mediatriz de AB). A circunferência de centro em N que passa por A e B, determina O sobre a mediatriz de AB e o ângulo AOB é inscrito, correspondendo ao ângulo ao centro ANB recto, A circunferência circunscrita ao octógono regular de lado AB tem centro em O e passa por A. Gosto da sagrada figura que se segue.

A mais bela e simples: a sagrada.

Notas de quem olha para o céu:
E é claro que basta olhar para cima para ver um ponto P de tal modo que APB vale 2π/16 (a décima sexta parte da circunferência) para obtermos o centro da circunferência circunscrita a um polígono regular de 16 lados iguais a AB. E, continuando a olhar para o céu, ... estão a ver?